MATEMANIJA

[dispmath]\int\sqrt{8+2x-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Postoji li neki jednostavniji nacin za resavanje ovog integrala umesto da se uvode smene sa trigonometrijskim funkcijama, tj. bez petljanja [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath]?

Npr. metodom Ostrogradskog..koliko bi to bilo jednostavnije?

Metoda Ostrogradskog se koristi kada se koren nalazi u imeniocu. Možeš pokušati s Ojlerovom smenom,
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=\left|x-x_1\right|\cdot t,\qquad t=\sqrt{\frac{a\left(x-x_2\right)}{x-x_1}}[/dispmath]
gde su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] nule potkorene kvadratne funkcije.

Po mom mišljenju, nepotrebno komplikovanje. Ovaj integral se vrlo lako rešava smenama s trigonometrijskim funkcijama, ne vidim zašto bismo ih izbegavali?

Znam, ali kada se racionalise bude koren u imeniocu..
Sta znam, ne volim ih bas..Ali vidim sad da je to najjednostavniji nacin..

nikolalosic je napisao:Znam, ali kada se racionalise bude koren u imeniocu..

I bude i polinom u brojiocu, pa koristimo Ostrogradskog da bismo se oslobodili tog polinoma u brojiocu kojeg smo na ovaj način sasvim nepotrebno stvorili. Posle toga opet dobijamo integral, kod kojeg, doduše, koren nije u brojiocu već u imeniocu, a u brojiocu bismo imali samo [inlmath]\mathrm dx[/inlmath], tako da to dalje ne bismo mogli Ostrogradskim, već nekom od ovih drugih metoda... U suštini, ništa posebno ne bismo time dobili.
I dalje ostajem pri tome da je najlakše preko sinusa ili kosinusa.