MATEMANIJA

Pozdrav,

Tek sam krenuo sa integralima, pa mi je potrebna pomoc.

Zadatak glasi: Odrediti jednacinu krive [inlmath]y=f(x)[/inlmath] ako su poznati njen izvod i tacka [inlmath]M[/inlmath] koja pripada njenom grafiku. I onda su dati primeri:
[dispmath]y'=\sin x+\cos x,\;M\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\\
y'=0.5\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right),\;M(0,a)\\
\cdots[/dispmath]
Sta je potrebno uraditi, jer kada pogledam resenje u nekima je to samo integral od datog izvoda a u nekima ne?

Ista situacija je i kada imam dat drugi izvod i dve tacke. Na primer, [inlmath]u''=\frac{2}{x^3},\;M(1,2),\;N(-1,-2)[/inlmath]. Ni ovde zaista ne znam sta uraditi

Treba da nađeš funkciju. Ako ti je dat njen izvod, integralisanjem ćeš dobiti skup funkcija kojem pripada, između ostalog, i funkcija koja se traži. Uslov da grafik funkcije prolazi kroz određenu tačku daje ti mogućnost da odrediš koja je tačno funkcija iz tog skupa u pitanju.

Dakle, ako ti je dato [inlmath]y'=\sin x+\cos x[/inlmath] onda tražena funkcija zadovoljava uslov [inlmath]y=\int\sin x\mathrm{d}x+\int\cos x\mathrm{d}x=-\cos x+\sin x+C[/inlmath]

Međutim, ovako još uvek nisi jednoznačno odredio funkciju, jer ne znaš kolika je vrednost [inlmath]C[/inlmath]. To možeš znajući da je [inlmath]f(1)=\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Slično i u ostalim primerima...

S tim, što, teško da grafik funkcije prolazi kroz tačku [inlmath]M\left(1,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]. Pre će biti da je u tekstu zadatka greška i da je u pitanju tačka [inlmath]M\left(\frac{\pi}{2},1\right)[/inlmath].

Jasno, hvala!