MATEMANIJA

Pozdrav, nov sam ovde, a u nedelju imam ispit pa bih bio veoma zahvalan ako bi mi neko pomogao oko par zadatak vezano za integrale i objasnio za pojedine tacke kako i zasto je to tako uradjeno. Hvala u napred
evo zadatka :
Sliku od resenja ne znam kako da postavim ovde
Izracunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko [inlmath]y[/inlmath]-ose figure ogranicene linija [inlmath]y=3\cdot x^2[/inlmath] i [inlmath]y=4-x^2[/inlmath]. Slika je obavezna
Oni oduzimaju dve zapremine a ne znam kako su ih dobili
[inlmath]V=V_1+V_2[/inlmath] pa je
[dispmath]V_1=\pi\int\limits_3^4 x^2\mathrm dy=\pi\int\limits_3^4 (4-y)\mathrm dy=\frac{\pi}{2}[/dispmath]
a
[dispmath]V_2=\pi\int\limits_0^3 x^2\mathrm dy=\pi\int\limits_0^3\frac{y}{3}\mathrm dy=\frac{\pi}{2}[/dispmath]

Pozdrav. Misliš, sabiraju dve zapremine? [inlmath]V=V_1+V_2[/inlmath]

Dve zadate parabole izgledale bi ovako:


Ove dve parabole imaju dve presečne tačke, a zbog simetrije u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu (jer u jednačinama parabola [inlmath]x[/inlmath] figuriše samo u okviru [inlmath]x^2[/inlmath]), [inlmath]y[/inlmath]-koordinate obe presečne tačke biće jednake.
Figura koja rotira sastoji se iz dva dela, na slici obeleženih žućkasto i zelenkasto. Ova prva je ograničena parabolom [inlmath]y=4-x^2[/inlmath] za vrednosti [inlmath]y[/inlmath] od [inlmath]y[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka pa do [inlmath]4[/inlmath], dok je ova druga ograničena parabolom [inlmath]y=3x^2[/inlmath] za vrednosti [inlmath]y[/inlmath] od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]y[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka.
[inlmath]y[/inlmath]-koordinatu presečnih tačaka je moguće odrediti tako što jednačine ove dve parabole posmatramo kao sistem jednačina i rešimo ga po [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
y=3x^2\\
y=4-x^2
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
y=3x^2\\
3y=12-3x^2
\end{array}\quad\Rightarrow\quad y+3y=\cancel{3x^2}+12-\cancel{3x^2}\quad\Rightarrow\quad\underline{y=3}[/dispmath]
Znači, zapreminu [inlmath]V_1[/inlmath], koja bi se dobila rotiranjem žućkaste površine oko [inlmath]y[/inlmath]-ose računamo tako što primenimo formulu s granicama od [inlmath]3[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath], a zapreminu [inlmath]V_2[/inlmath], koja bi se dobila rotiranjem zelenkaste površine oko [inlmath]y[/inlmath]-ose računamo tako što primenimo formulu s granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]3[/inlmath]. Tražena zapremina posmatranog rotirajućeg tela biće zbir te dve zapremine. Upravo tako su oni radili.

---

Nemoj da te zbuni to što se ovde integracija vrši po promenljivoj [inlmath]y[/inlmath] umesto po [inlmath]x[/inlmath], tj. unutar integrala nam figuriše [inlmath]\mathrm dy[/inlmath], iako u originalnoj formuli, [inlmath]V=\pi\int\limits_a^b f^2\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], figuriše [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. To je zbog toga što figura u ovom zadatku rotira oko [inlmath]y[/inlmath]-ose, a ne oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, pa zbog toga ne posmatramo [inlmath]y=f\left(x\right)[/inlmath], već [inlmath]x=f\left(y\right)[/inlmath].
Zbog toga ovde formula za zapreminu ne glasi [inlmath]V=\pi\int\limits_a^b y^2\mathrm dx[/inlmath], već [inlmath]V=\pi\int\limits_a^b x^2\mathrm dy[/inlmath] ([inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] su zamenili mesta).
Znači, parabolu [inlmath]y=3x^2[/inlmath] pišemo kao [inlmath]x^2=\frac{y}{3}[/inlmath], a parabolu [inlmath]y=4-x^2[/inlmath] pišemo kao [inlmath]x^2=4-y[/inlmath] i to uvrštavamo u formulu za zapreminu umesto [inlmath]x^2[/inlmath].

Sličan slučaj smo već imali u ovom zadatku.

Sve mi je jasno osim sistema jednacina sto resavamo po [inlmath]y[/inlmath].
Ja kada jednacinu jendog [inlmath]Y[/inlmath] ubacim u drugu, ja dobijem [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]+1[/inlmath]
[dispmath]3\cdot X^2=4-X^2[/dispmath]

To dobiješ zato što rešavaš po [inlmath]x[/inlmath]. Rešenja po [inlmath]x[/inlmath] i jesu [inlmath]\pm 1[/inlmath], ali [inlmath]x[/inlmath] nas ovde ne interesuje. Interesuju nas rešenja po [inlmath]y[/inlmath], jer tražimo [inlmath]y[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka.

Ne znam vise sta pisem sta mislim a sta ocu da napisem
Hvala u svakom slucaju, sacu probati neki zadatak sam da uradim, da vidim koliko je to moguce

Inače, njihovo rešenje za [inlmath]V_2[/inlmath] nije tačno. Za [inlmath]V_1[/inlmath] je u redu, zaista se dobije [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], ali za [inlmath]V_2[/inlmath] se dobije drugačiji rezultat:
[dispmath]V_2=\pi\int\limits_0^3\frac{y}{3}\mathrm dy=\frac{\pi}{3}\cdot\left.\frac{y^2}{2}\right|_0^3=\frac{\pi}{\cancel 3}\cdot\frac{3^{\cancel 2}}{2}=\frac{3\pi}{2}[/dispmath]

I njima je [inlmath]V_2[/inlmath] toliko pa im je konacko [inlmath]2\pi[/inlmath]