MATEMANIJA

Izračunajte integral
[dispmath]\iint\limits_Sx^2y\,\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
gdje je [inlmath]S[/inlmath] trokut s vrhovima [inlmath]A(0,0)[/inlmath], [inlmath]B(3,3)[/inlmath], [inlmath]C(2,4)[/inlmath].

Da ne bude zabune, ovaj [inlmath]S[/inlmath] je u zadatku taman između dva integrala (ovdje je desno, nisam znao srediti u Latexu). Pitanje je kako doći do granica.

Skicirajmo to:


Iz datih temena trougla mozes da odredis jednačine pravih koje odgovaraju stranicama: [inlmath]y=2x[/inlmath], [inlmath]y=x[/inlmath] i [inlmath]y=6-x[/inlmath]

Podelimo površinu na dva dela, i prvo izracunajmo ovaj dvostruki intergral na žutoj oblasti. Ova oblast je data sa:
[inlmath]3\le y\le 4[/inlmath] i [inlmath]\frac{y}{2}\le x\le 6-y[/inlmath]

Integral će biti:
[dispmath]\int\limits_3^4\mathrm{d}y\int\limits_{\frac{y}{2}}^{6-y}x^2y\mathrm{d}x[/dispmath]
Dalje se ovo svede na:
[dispmath]\int\limits_3^4y\left(\frac{(6-y)^3}{3}-\frac{y^3}{24}\right)\mathrm{d}y=\cdots[/dispmath]
Slično odradis za ovu drugu oblast. Ona je definisana sa:
[dispmath]0\le y\le 3[/dispmath][dispmath]\frac{y}{2}\le x\le y[/dispmath]
Integral će biti:
[dispmath]\int\limits_0^3\mathrm{d}y\int\limits_{\frac{y}{2}}^yx^2y\mathrm{d}x=\cdots[/dispmath]
Na kraju sabereš vrednosti koje dobiješ za ova dva integrala...

Ako hoćeš po drugoj osi, možeš ovaj integral da sračunaš kao:
[dispmath]\int\limits_0^2\mathrm{d}x\int\limits_x^{2x}x^2y\mathrm{d}y+\int\limits_2^3\mathrm{d}x\int\limits_x^{-x+6}x^2y\mathrm{d}y[/dispmath]
Treba da dobiješ isti rezultat kao i na prethodni način, ali možda je ovako malo lakše.