MATEMANIJA

Treba naci neodredjeni integral sledece funkcije
[dispmath]\int\frac{2^x\cdot 3^x}{9^x-4^x}\mathrm dx[/dispmath]
Inace ovaj zadatak se nalazi pod brojem 36. u odeljku 3.1.4. METODA ZAMENE u knjizi Matematika sa zbirkom zadataka za IV razred srednje skole (dr Milutin Obradovic i dr Dusan Georgijevic)
Dakle ideja mi je bila da krenem u rastavljanje imenioca pa onda koriscenje metoda parcijalnih frakcija(razlomaka), naime
[dispmath]\int\frac{2^x\cdot 3^x}{\left(3^x-2^x\right)\cdot\left(3^x+2^x\right)}\mathrm dx=\frac{1}{4}\int\frac{3^x+2^x}{3^x-2^x}-\frac{1}{4}\int\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}[/dispmath]
Ovde sam stao. Vidim da postoji lepa veza izmedju ova dva razlomka, naime [inlmath]\frac{3^x+2^x}{3^x-2^x}\cdot\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}=1[/inlmath] ali ne vidim kako mi to pomaze u integraciji.Ako neko ima ideju kako da nastavi ili za neku drugu metodu neka molim vas ukaze. Inace posto je zadatak u odeljku za metodu zamene bilo bi lepo da se sa njom doradi zadatak.

Meni se najjednostavnijim čini da se imenilac i brojilac podintegralne funkcije podele sa [inlmath]6^x[/inlmath]. Dobijaš:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^x-\left(\frac{2}{3}\right)^x}\mathrm{d}x[/dispmath]
Posle toga uvedi smenu [inlmath]\left(\frac{3}{2}\right)^x=t[/inlmath].

Hvala puno! Krenuh i ja tim korakom ali me zbunilo sto mi se u diferenciranju smene opet pojavljuje funkcija od [inlmath]x[/inlmath], ali sam shvatio da se zapravo ona pojavljuje opet u funkciji naime pa je to odlicna smena, koristicu sledeci rezultat
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\int\frac{\mathrm dx}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{\mathrm dx}{x+a}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C[/dispmath]
pa da dovrsim ovaj problem uvodjenjem ove smene
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\left(\frac{3}{2}\right)^x-\left(\frac{2}{3}\right)^x}\\
u=\left(\frac{3}{2}\right)^x\\
\mathrm du=\left(\frac{3}{2}\right)^x\ln\left(\frac{3}{2}\right)\mathrm dx\\
\frac{\mathrm du}{\left(\frac{3}{2}\right)^x\ln\left(\frac{3}{2}\right)}=\mathrm dx\quad\Leftrightarrow\quad\mathrm dx=\frac{\mathrm du}{u\ln\left(\frac{3}{2}\right)}[/dispmath]
Ovaj prethodni korak me je zbunjivao
[dispmath]\frac{1}{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\int\frac{\mathrm du}{u\cdot\left(u-\frac{1}{u}\right)}=\frac{1}{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\int\frac{\mathrm du}{u^2-1}[/dispmath]
Sada koristim gore navedeni rezultat, naime
[dispmath]\frac{1}{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\int\frac{\mathrm du}{u^2-1^2}=\frac{1}{2\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\ln\left|\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^x-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^x+1}\right|[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\int\frac{2^x\cdot 3^x}{9^x-4^x}\mathrm dx=\frac{1}{2\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\ln\left|\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}\right|+C}[/dispmath]

milosacimovicmld je napisao:[dispmath]u=\left(\frac{3}{2}\right)^x\\
\mathrm du=\left(\frac{3}{2}\right)^x\ln\left(\frac{3}{2}\right)\mathrm dx\\
\frac{\mathrm du}{\left(\frac{3}{2}\right)^x\ln\left(\frac{3}{2}\right)}=\mathrm dx\quad\Leftrightarrow\quad\mathrm dx=\frac{\mathrm du}{u\ln\left(\frac{3}{2}\right)}[/dispmath]
Ovaj prethodni korak me je zbunjivao

Postoji još jedan način za nalaženje diferencijala te smene, a to je da iz [inlmath]\left(\frac{3}{2}\right)^x=u[/inlmath] izraziš [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath]x=\ln_{\frac{3}{2}}u=\frac{\ln u}{\ln\frac{3}{2}}[/inlmath] i odatle [inlmath]\mathrm dx=\frac{\mathrm du}{u\ln\frac{3}{2}}[/inlmath].