MATEMANIJA

Dosao sam do rezultataSamo mi treba provera tacnosti postupaka u ovom zadatku. Odeljak 3.1.5. zadatak 16. knjiga Matematika za IV razred srednje skole (koristicu ovaj rezultat [inlmath]\int\ln x\mathrm dx=x\ln x-x+C[/inlmath])
[dispmath]I=\int x^n\ln x\mathrm dx=\begin{cases}
u=x^n\hspace{5mm}\mathrm du=nx^{n-1}\\
\mathrm dv=\ln x\mathrm dx\hspace{5mm}v=x\ln x-x
\end{cases}\\
=x^{n+1}\ln x-x^{n+1}-n\int x^n\ln x\mathrm dx+n\int x^n\mathrm dx\\
=x^{n+1}\ln x-x^{n+1}-nI+\frac{nx^{n+1}}{n+1}\\
\Leftrightarrow\quad\enclose{box}{I=\int x^n\ln x\mathrm dx=\frac{x^{n+1}\ln x-x^{n+1}}{n+1}+\frac{nx^{n+1}}{(n+1)^2}+C}[/dispmath]

Sve ok.
S tim, što bi po meni jednostavnije rešenje bilo ako bismo uradili obrnuto – za [inlmath]u[/inlmath] uzeli [inlmath]\ln x[/inlmath], a za [inlmath]\mathrm dv[/inlmath] uzeli [inlmath]x^n\mathrm dx[/inlmath]:
[dispmath]\int x^n\ln x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]\begin{array}{l}
u=\ln x & \mathrm du=\frac{\mathrm dx}{x}\\
\mathrm dv=x^n\mathrm dx & v=\frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{array}[/inlmath]
[dispmath]=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int x^n\mathrm dx=\enclose{box}{\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+C}[/dispmath]
što je isto rešenje kao i ono koje si ti dobio.

---

Tvoje rešenje je, doduše, zapisano u nešto drugačijem obliku, ali se može sređivanjem pokazati da je identično ovom do kog sam ja došao:
[dispmath]\frac{x^{n+1}\ln x-x^{n+1}}{n+1}+\frac{nx^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+C=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{n+1}+\frac{nx^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+C=[/dispmath][dispmath]=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{\left(n+1\right)x^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+\frac{nx^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+C=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{\left(\cancel n+1-\cancel n\right)x^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+C=[/dispmath][dispmath]=\enclose{box}{\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^2}+C}[/dispmath]