MATEMANIJA

Odeljak 3.3.4. zadatak 5. knjiga Matematika za IV razred srednje skole
Izracunati sledeci odredjeni integral
[dispmath]\int \limits_0^{\sqrt[4]{2}}\frac{x^{15}\mathrm dx}{(x^3+1)^{\frac{2}{5}}}[/dispmath]
Ako neko ima iskustva sa ovako velikim stepenom u integrandu neka molim vas ukaze sa koje strane je dobro prici ovom integralu. Ja sam krenuo u sledece rastavljanje neodredjenog integrala istog integranda da bih resio odredjeni integral Njutn-Lajbnic formulom:
[dispmath]\int \frac{x^{15}\mathrm dx}{(x^3+1)^{\frac{2}{5}}}=\int x^{12}(x^3+1)^{\frac{3}{5}}\mathrm dx-\int \frac{x^{12}}{(x^3+1)^{\frac{2}{5}}}\mathrm dx[/dispmath]
pa ovako dok stepen [inlmath]x[/inlmath] ne spadne na [inlmath]1[/inlmath]. Medjutim na kraju mi ostaje pod integralom izraz [inlmath]x^3+1[/inlmath] stepenovan na neki racionalni izraz i to ne mogu da integrisem.

Integral je neresiv kao neodredjeni (tacnije, resenje se ne moze izraziti pomocu elementarnih funkcija) – samim tim ovom logikom ces tesko nesto postici – Njutn–Lajbnicovom formulom ovo neces resiti. Ja bih ovo sracunao numericki, ali verujem da vi niste u okviru srednje skole radili takve stvari.

Posto pocinje prvi semestar na fakultetu htedoh da predjem ovu knjigu kako bi se potsetio materijala iz cetvrte godine. Inace zavrsio sam srednju skolu i ne pomenusmo uopste numericki nacin izracunavanja odredjenog integrala.Hvala na povratnoj informaciji. Posto bi trebalo da se resi pomocu poznatih tehnika integraljenja(integracije), moram konstatovati da mi je i dalje cudno sto je onda tip ovakvog problema stavljen u ovu knjigu.

Ovaj integral spada u integrale oblika
[dispmath]\int x^m\left(a+bx^n\right)^p\mathrm dx[/dispmath]
i kao takav je, u svom neodređenom obliku, rešiv samo u tri slučaja: ako je [inlmath]p\in\mathbb{Z}[/inlmath], ako je [inlmath]\frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}[/inlmath] i ako je [inlmath]\frac{m+1}{n}+p\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Pošto je u tvom integralu [inlmath]m=15[/inlmath], [inlmath]n=3[/inlmath] i [inlmath]p=\frac{2}{5}[/inlmath], u prvom slučaju bismo imali [inlmath]\frac{2}{5}[/inlmath], u drugom slučaju [inlmath]\frac{16}{3}[/inlmath], a u trećem slučaju [inlmath]\frac{86}{15}[/inlmath]. Prema tome, ni u jednom od ta tri slučaja nemamo ceo broj, što znači da je, kako i Milovan reče, ovaj integral nerešiv u svom neodređenom obliku.

Moguće da je u zbirci greška. Da li piše koje je rešenje?

Da. Pise da je resenje [inlmath]\frac{5}{195}\left(7\cdot 5^{\frac{3}{5}}+5\right)[/inlmath].

Ne poklapa se tu nešto. Evo rezultata sa Wolframalphe: