MATEMANIJA

Odeljak 3.3.5. zadatak 20. knjiga Matematika za IV razred srednje skole
Odrediti povrsinu figure omedjene krivom [inlmath](y-x)^2=x^3[/inlmath] i pravom [inlmath]x=1[/inlmath].
Mene zapravo buni skiciranje grafika ove funkcije ([inlmath]y^2=x^3-x^2+2xy[/inlmath]) i posledicno tome postavljanje granica integracije integrala za izracunavanje povrsine trazene figure.

[dispmath]\left(y-x\right)^2=x^3[/dispmath]
Prvo vidimo da, pošto leva strana mora biti pozitivna ili nula, takođe i desna strana mora biti pozitivna ili nula [inlmath]\Rightarrow\;x\ge 0[/inlmath]
Korenujemo obe strane:
[dispmath]\sqrt{\left(y-x\right)^2}=\sqrt{x^3}\\
\left|y-x\right|=\sqrt{x^3}\\
y-x=\pm\sqrt{x^3}\\
y=x\pm\sqrt{x^3}\\
\Rightarrow\quad y_1=x-\sqrt{x^3},\quad y_2=x+\sqrt{x^3}[/dispmath]
Ove dve funkcije se susreću u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]. Levo od te tačke, kao što već rekoh, funkcija nije definisana.
Znači, granice integraljenja su od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] (jedinica zbog prave [inlmath]x=1[/inlmath]):
[dispmath]P=\int\limits_0^1\left(y_2-y_1\right)\mathrm dx=\cdots[/dispmath]