MATEMANIJA

Koliko sam vidio još nema teme koja govori uopšteno o integralima mislim na one definicije i pojam integrala. Znam da su dosta povezani sa izvodima i izvodi su mi jasni. Mislim sve one definicije i ostalo. Slabo razumijem definicije integrala. Mislim na one sa primitivnom funkcijom sa određenim intervalom. Slabo mi je to jasno. Ne znam kakve to veze ima sa površinom i zapreminom. Znači zanima me uopšteno o integralu najbolje bi bilo da neko može da to objasni što jednostavnije i da neku geometrijsku interpretaciju.

Čisto sumnjam da će iko ovde biti raspoložen da ti na tvoj request sad piše čitav tutorijal. Mogao bi malo da konkretizuješ pitanje, tj. da preciziraš šta ti tačno nije jasno.
Možeš pogledati drugi deo ovog mog posta, tu sam nešto pričao o integralima, tj. o površini ispod krive...

Da i ja sam posumnjao da će neko zbog mene to sve da napiše. Mada mislio sam samo ono osnovno da kaže o integralima. Bukvalno šta su, šta predstavljaju itd... Ima toga dosta. Nisam znao da ta tema ima, upravo je razgledam. Našao sam ja ta malo detaljnija objašnjenja o integralima. Naravno gdje zapnem tražiću pomoć. A možda i ja napravim neki tutorial ako uhvatim vremena. Ne bi bilo loše da i to ima na forumu.

Evo da se malo vratim ovoj temi imam jedno pitanje možda malo i glupo ali nisam pronašao adekvatan odgovor. Znam da je [inlmath]f'(x)=\frac{\mathrm d_y}{\mathrm d_x}[/inlmath] znači svejedno je i jedno i drugo predstavlja izvod. [inlmath]\mathrm d_y[/inlmath] predstavlja priraštaj funkcije a [inlmath]\mathrm d_x[/inlmath] priraštaj nezavisne promjenjive. Zbunjuje me šta znači [inlmath]\mathrm d_x[/inlmath] kod integrala. Kako to objasniti? Jer znam to se ne može izostaviti. Znam da je integracija suprotna od izvoda. Vjerovatno je to povezano s tim. Sada i ne znam smije li se reći da je integracija inverzna od izvoda?

Gamma je napisao:Zbunjuje me šta znači [inlmath]\mathrm d_x[/inlmath] kod integrala. Kako to objasniti? Jer znam to se ne može izostaviti.

Upravo to sam i objasnio u tom postu na koji sam ti linkovao, a za koji kažeš da si ga pregledao.

I [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] se pišu u istom nivou sa [inlmath]\mathrm d[/inlmath], a ne u indeksu – znači, ne [inlmath]\mathrm d_x[/inlmath] i [inlmath]\mathrm d_y[/inlmath], već [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dy[/inlmath].

Gamma je napisao:Sada i ne znam smije li se reći da je integracija inverzna od izvoda?

Ako neku funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] integralimo, pa zatim od toga što smo dobili nađemo izvod, taj izvod će predstavljati polaznu funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. Tako da u tom smislu možemo reći da se izvod i integral „poništavaju“.

Međutim, ako idemo obrnutim redosledom – tj. prvo nađemo izvod neke funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], pa zatim taj njen izvod integralimo, nećemo dobiti tu jednu polaznu funkciju, već familiju funkcija oblika [inlmath]f\left(x\right)+c[/inlmath], od kojih je samo jedna funkcija jednaka onoj polaznoj [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] (za [inlmath]c=0[/inlmath]). Zato se neodređena integracija i zove neodređena – jer nam ne daje određenu funkciju, već beskonačno funkcija istog oblika a međusobno transliranih po vertikali:
[dispmath]\left.f'\left(x\right)=\frac{\mathrm df\left(x\right)}{\mathrm dx}\quad\right/\cdot\:\mathrm dx\\
f'\left(x\right)\:\mathrm dx=\mathrm df\left(x\right)\quad\left/\;\int\right.\\
\int f'\left(x\right)\:\mathrm dx=\int\mathrm df\left(x\right)\\
\enclose{box}{\int f'\left(x\right)\:\mathrm dx=f\left(x\right)+c}[/dispmath]

Samo sam prelistao na brzaka. Bio sam u nekoj žurbi. Evo upravo ću sada to sve detaljno da proučim.

Sve mi je jasno do ovoga [inlmath]\int\mathrm df\left(x\right)=f(x)+c[/inlmath]. Zapravko kako integral od priraštaja funkcije predstavlja tu funkciju?

Zaboravio sam napisati znam da je integral od [inlmath]\int\mathrm dx=x+c[/inlmath]. Vjerovatno je rađeno preko smjene [inlmath]t=f(x)[/inlmath] ili ? Ako je samo preko smjene izgleda mi previše jednostavno.

Gamma je napisao:Koliko sam vidio još nema teme koja govori uopšteno o integralima mislim na one definicije i pojam integrala. Znam da su dosta povezani sa izvodima i izvodi su mi jasni. Mislim sve one definicije i ostalo. Slabo razumijem definicije integrala. Mislim na one sa primitivnom funkcijom sa određenim intervalom. Slabo mi je to jasno. Ne znam kakve to veze ima sa površinom i zapreminom. Znači zanima me uopšteno o integralu najbolje bi bilo da neko može da to objasni što jednostavnije i da neku geometrijsku interpretaciju.

Recimo da ti je cale zadao zadatak da izmeris tacnu zapreminu drva koje je spremio za zimu. Kako ces to da uradis? Posto su drva razlicita, ti ces izmeriti zapreminu prvog pa drugog pa treceg drveta i na kraju ces sabrati sve te zapremine i dobiti ukupnu zapreminu. Ovo je integral. Evo jedan primer iz fizike: Na nekom delu puta si se kretao brzinom od [inlmath]5\frac{\text{m}}{\text{s}}[/inlmath] tokom [inlmath]1\text{ s}[/inlmath], na drugom delu puta si se kretao brzinom od [inlmath]10\frac{\text{m}}{\text{s}}[/inlmath] tokom [inlmath]2[/inlmath] sekunde. Koliko si ukupno metara prosao? Pa ovoliko [inlmath]5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot1\text{ s}+10\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot2\text{ s}[/inlmath]. Ovo je integral. Naravno, mozemo imati mnogo vise delova puta sa razlicitim brzinama pa bismo nas put predstavili grafikom. Ako malo razmislite, integral predstavlja povrsinu ispod tog grafika (ili funkcije ako cemo strucno).