MATEMANIJA

[dispmath]\int\frac{x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\sqrt{x+4}+3}{\left(x+4\right)^2-\sqrt{x+4}}\mathrm dx[/dispmath]
Znam princip ali ne mogu da dobijem resenje.Za prvi koristim parcijalnu ali ne znam sta da radim sa delom [inlmath]\int v\mathrm du[/inlmath], videcete sta ce se dobiti.A u drugom sam uveo smenu za iracionalnu funkciju, a kasnije sam dobio da mi je jedna od konstanti nula.Molio bih Vas za pomoc.Unapred hvala!
Greska u pisanju u drugom treba da bude: brojilac koren iz x+4 i +3 van korena, imenilac (X+4) na kvadrat minus koren iz x+4

Kepec je napisao:Greska u pisanju u drugom treba da bude: brojilac koren iz x+4 i +3 van korena, imenilac (X+4) na kvadrat minus koren iz x+4

Ispravljeno.

Kepec je napisao:Za prvi koristim parcijalnu ali ne znam sta da radim sa delom [inlmath]\int v\mathrm du[/inlmath], videcete sta ce se dobiti.

U prvom koristiš
[inlmath]u=\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm dv=\frac{x\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/inlmath]
Odatle za deo [inlmath]\int v\mathrm du[/inlmath] dobiješ da glasi [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/inlmath], a to rešavaš smenom [inlmath]x=\mathrm{sh}\:t[/inlmath].

Kepec je napisao:A u drugom sam uveo smenu za iracionalnu funkciju, a kasnije sam dobio da mi je jedna od konstanti nula.

Uvedeš prvo smenu [inlmath]\sqrt{x+4}=t[/inlmath], pa odatle dobiješ integral koji rastavljaš na parcijalne razlomke. Treba da dobiješ integrale oblika
[dispmath]2\int\frac{A\mathrm dt}{t-1}+2\int\frac{Bt+C}{t^2+t+1}\mathrm dt[/dispmath]
i vrednosti konstanti [inlmath]A=\frac{4}{3}[/inlmath], [inlmath]B=-\frac{4}{3}[/inlmath] i [inlmath]C=-\frac{5}{3}[/inlmath].

Hvala....kako se resava smena [inlmath]\mathrm{sh}\:t=x[/inlmath]

Iskoristi osobinu hiperboličkih funkcija da je [inlmath]1+\mathrm{sh}^2t=\mathrm{ch}^2t[/inlmath], kao i da je izvod od [inlmath]\mathrm{sh}\:t[/inlmath] jednak [inlmath]\mathrm{ch}\:t[/inlmath] (ovde imaš tabelu izvoda).

Hvala na objasnjenju.....
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{4+\mathrm{tg}\:x+4\cdot\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Da li u ovom itegralu treba uvoditi neku od smena za integraciju trigonometrijske f-je i ako treba koju uzeti?

Da, treba uvesti smenu [inlmath]\mathrm{tg}\:x=t[/inlmath]. Dalje rešavaš rastavljanjem na parcijalne razlomke...

Posle uvodjenja smene i sredjivanjem dobijem
[dispmath]\int\frac{t\mathrm dx}{\left(1+t^2\right)\cdot\left(t^2+4t+4\right)}[/dispmath]
I kada uradim kao racionalnu, tj. izdelim na parcijalne dobijem da su mi konstante koje treba da budu a to su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] jednake nuli?

Najpre, dobro si uveo smenu, ali nemoj sebi dozvoliti (pa makar bila i greška u kucanju) da zaboraviš [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] da prepraviš u [inlmath]\mathrm dt[/inlmath] (pretpostavljam da je bilo copy-paste).
Drugo, ovde imaš 4 konstante ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]):
[dispmath]\frac{t}{\left(1+t^2\right)\cdot\left(t^2+4t+4\right)}=\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{Ct+D}{t^2+4t+4}[/dispmath]
Rešenja su: [inlmath]A=\frac{3}{25}\quad B=\frac{4}{25}\quad C=-\frac{3}{25}\quad D=-\frac{16}{25}[/inlmath]
Mogao bi zbog vežbe da probaš i na drugi način, koristeći činjenicu da je: [inlmath]t^2+4t+4=(t+2)^2[/inlmath]

Da u prvom sam prevideo da nije realna nula pa zato ide [inlmath]At+B[/inlmath], ali u drugom slucaju jeste realna nula pa valjda treba samo [inlmath]C[/inlmath]?

Nije važno da li su nule realne ili ne. Možda si mislio na drugi način koji sam ti predložio za vežbu:
[dispmath]\frac{t}{\left(1+t^2\right)\cdot\left(t^2+4t+4\right)}=\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{C_1}{t+2}+\frac{C_2}{\left(t+2\right)^2}[/dispmath]
Ali, kao što vidiš, i tu su 4 konstante. Ako radiš sa 3, ne možeš dobiti tačno rešenje. Zapravo, zato i dobijaš te nule.
A bitno je da li su nule polinoma realne ili ne samo ako rastavljaš polinom drugog reda na proizvod polinoma prvog reda.
To je nemoguće uraditi u realnom domenu za [inlmath]1+t^2[/inlmath]. Za polinom [inlmath]t^2+4t+4[/inlmath] je to moguće, no njegov koren je dvostruk i baš zato je moguć i drugi način. Najbolje bi bilo da još jednom ispratiš link ka rastavljanju polinoma na činioce, koji ti je Daniel preporučio u jednom od prethodnih postova ove iste teme.