MATEMANIJA

[dispmath]\int\frac{x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\sqrt{x+4}+3}{\left(x+4\right)^2-\sqrt{x+4}}\mathrm dx[/dispmath]
Znam princip ali ne mogu da dobijem resenje.Za prvi koristim parcijalnu ali ne znam sta da radim sa delom [inlmath]\int v\mathrm du[/inlmath], videcete sta ce se dobiti.A u drugom sam uveo smenu za iracionalnu funkciju, a kasnije sam dobio da mi je jedna od konstanti nula.Molio bih Vas za pomoc.Unapred hvala!
Greska u pisanju u drugom treba da bude: brojilac koren iz x+4 i +3 van korena, imenilac (X+4) na kvadrat minus koren iz x+4

Kepec je napisao:Greska u pisanju u drugom treba da bude: brojilac koren iz x+4 i +3 van korena, imenilac (X+4) na kvadrat minus koren iz x+4

Ispravljeno.

Kepec je napisao:Za prvi koristim parcijalnu ali ne znam sta da radim sa delom [inlmath]\int v\mathrm du[/inlmath], videcete sta ce se dobiti.

U prvom koristiš
[inlmath]u=\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm dv=\frac{x\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/inlmath]
Odatle za deo [inlmath]\int v\mathrm du[/inlmath] dobiješ da glasi [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/inlmath], a to rešavaš smenom [inlmath]x=\mathrm{sh}\:t[/inlmath].

Kepec je napisao:A u drugom sam uveo smenu za iracionalnu funkciju, a kasnije sam dobio da mi je jedna od konstanti nula.

Uvedeš prvo smenu [inlmath]\sqrt{x+4}=t[/inlmath], pa odatle dobiješ integral koji rastavljaš na parcijalne razlomke. Treba da dobiješ integrale oblika
[dispmath]2\int\frac{A\mathrm dt}{t-1}+2\int\frac{Bt+C}{t^2+t+1}\mathrm dt[/dispmath]
i vrednosti konstanti [inlmath]A=\frac{4}{3}[/inlmath], [inlmath]B=-\frac{4}{3}[/inlmath] i [inlmath]C=-\frac{5}{3}[/inlmath].

Hvala....kako se resava smena [inlmath]\mathrm{sh}\:t=x[/inlmath]

Iskoristi osobinu hiperboličkih funkcija da je [inlmath]1+\mathrm{sh}^2t=\mathrm{ch}^2t[/inlmath], kao i da je izvod od [inlmath]\mathrm{sh}\:t[/inlmath] jednak [inlmath]\mathrm{ch}\:t[/inlmath] (ovde imaš tabelu izvoda).

Hvala na objasnjenju.....
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{4+\mathrm{tg}\:x+4\cdot\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Da li u ovom itegralu treba uvoditi neku od smena za integraciju trigonometrijske f-je i ako treba koju uzeti?

Da, treba uvesti smenu [inlmath]\mathrm{tg}\:x=t[/inlmath]. Dalje rešavaš rastavljanjem na parcijalne razlomke...

Posle uvodjenja smene i sredjivanjem dobijem
[dispmath]\int\frac{t\mathrm dx}{\left(1+t^2\right)\cdot\left(t^2+4t+4\right)}[/dispmath]
I kada uradim kao racionalnu, tj. izdelim na parcijalne dobijem da su mi konstante koje treba da budu a to su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] jednake nuli?

Najpre, dobro si uveo smenu, ali nemoj sebi dozvoliti (pa makar bila i greška u kucanju) da zaboraviš [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] da prepraviš u [inlmath]\mathrm dt[/inlmath] (pretpostavljam da je bilo copy-paste).
Drugo, ovde imaš 4 konstante ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]):
[dispmath]\frac{t}{\left(1+t^2\right)\cdot\left(t^2+4t+4\right)}=\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{Ct+D}{t^2+4t+4}[/dispmath]
Rešenja su: [inlmath]A=\frac{3}{25}\quad B=\frac{4}{25}\quad C=-\frac{3}{25}\quad D=-\frac{16}{25}[/inlmath]
Mogao bi zbog vežbe da probaš i na drugi način, koristeći činjenicu da je: [inlmath]t^2+4t+4=(t+2)^2[/inlmath]

Da u prvom sam prevideo da nije realna nula pa zato ide [inlmath]At+B[/inlmath], ali u drugom slucaju jeste realna nula pa valjda treba samo [inlmath]C[/inlmath]?

Nije važno da li su nule realne ili ne. Možda si mislio na drugi način koji sam ti predložio za vežbu:
[dispmath]\frac{t}{\left(1+t^2\right)\cdot\left(t^2+4t+4\right)}=\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{C_1}{t+2}+\frac{C_2}{\left(t+2\right)^2}[/dispmath]
Ali, kao što vidiš, i tu su 4 konstante. Ako radiš sa 3, ne možeš dobiti tačno rešenje. Zapravo, zato i dobijaš te nule.
A bitno je da li su nule polinoma realne ili ne samo ako rastavljaš polinom drugog reda na proizvod polinoma prvog reda.
To je nemoguće uraditi u realnom domenu za [inlmath]1+t^2[/inlmath]. Za polinom [inlmath]t^2+4t+4[/inlmath] je to moguće, no njegov koren je dvostruk i baš zato je moguć i drugi način. Najbolje bi bilo da još jednom ispratiš link ka rastavljanju polinoma na činioce, koji ti je Daniel preporučio u jednom od prethodnih postova ove iste teme.

Naci neodredjeni integral
[dispmath]\int\left(2x^2+1\right)e^{x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Resenje:
[dispmath]I=\int\left(2x^2+1\right)e^{x^2}\mathrm dx=\int2x^2e^{x^2}\mathrm dx+\int e^{x^2}\mathrm dx=I_1+I_2[/dispmath]
Uz pomoc parcijalne integracije [inlmath]\int f\mathrm dg=fg-\int g\mathrm df[/inlmath] racunamo [inlmath]I_2[/inlmath].
Naime, ako je [inlmath]f=e^{x^2},\;\mathrm dg=\mathrm dx\;\Rightarrow\;\mathrm df=e^{x^2}2x\mathrm dx,\;g=x[/inlmath], pa odavde imamo
[dispmath]I_2=e^{x^2}x-I_1[/dispmath]
tj. [inlmath]I=I_1+I_2=I_1+e^{x^2}x-I_1=\mathbf{e^{x^2}x+C},\;C\in\mathbb{R}[/inlmath]

Najelegantnije moguće rešenje, potvrđujem tačnost kako rezultata tako i postupka

Da se doreknem:
Nisam prevideo da fali dvojka kod [inlmath]\mathrm df[/inlmath].
Ako želiš, ispraviću to u tvom postu.
Sve ovo zato što mi se način rađenja zadatka jako svideo, a dobijen je i tačan rezultat.

Hvala.

apples je napisao:[inlmath]f=e^{x^2},\;\mathrm dg=\mathrm dx\;\Rightarrow\;\mathrm df=e^{x^2}2x\mathrm dx,\;g=x[/inlmath]

[dispmath]\mathrm df=e^{x^2}{\color{Red}2}x\mathrm dx[/dispmath]
Lose sam napisao, nisam izbacio [inlmath]2[/inlmath] ispred... my bad

Ovaj zadatak sam resavao mladjem kolegi danas (Vise mi je vremena oduzelo pisanje u LaTeXu).
Naci neodredjeni integral
[dispmath]I=\int\frac{\ln\left(1+x^2\right)}{(1+x)^2}\mathrm dx[/dispmath]
Resenje:
[dispmath]I=\int\frac{\ln\left(1+x^2\right)}{(1+x)^2}\mathrm dx=\int\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s^2}\mathrm ds\;\begin{pmatrix}
s=x+1\\
\mathrm ds=\mathrm dx
\end{pmatrix}[/dispmath]
e sada, parcijalnom integracijom [inlmath]\int f\mathrm dg=fg-\int g\mathrm df[/inlmath] za
[dispmath]f=\ln\left(s^2-2s+2\right)\;\Rightarrow\;\mathbf{df}=\frac{\mathrm d\left(s^2-2s+2\right)}{s^2-2s+2}=\mathbf{\frac{2(s-1)}{s^2-2s+2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm dg=\frac{1}{s^2}\mathrm ds\;\Rightarrow\;\int\mathrm dg=\int\frac{1}{s^2}\mathrm ds\;\Rightarrow\;\mathbf{g=-\frac{1}{s}}[/dispmath]
Dobijamo
[dispmath]I=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+2\int\frac{s-1}{s\left(s^2-2s+2\right)}\mathrm ds=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+2I_1[/dispmath]
Dalje, rastavljanjem na parcijalne razlomke dobijamo
[dispmath]I_1=\int\frac{s-1}{s\left(s^2-2s+2\right)}\mathrm ds=\int\left(\frac{s}{2\left(s^2-2s+2\right)}-\frac{1}{2s}\right)\mathrm ds[/dispmath]
[dispmath]I_1=\frac{1}{2}\left(\int\frac{s}{s^2-2s+2}\mathrm ds-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\right)[/dispmath]
[dispmath]I_1=\frac{1}{2}\Bigg(\int\left(\frac{2s-2}{2\left(s^2-2s+2\right)}+\frac{1}{s^2-2s+2}\mathrm ds\right)-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\Bigg)=\\
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\int\frac{2s-2}{s^2-2s+2}\mathrm ds+\int\frac{1}{s^2-2s+2}\mathrm ds-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}I_2+I_3-I_4\right)[/dispmath]
[dispmath]I_4=\ln\left|s\right|+C[/dispmath]
[dispmath]I_3=\int\frac{1}{s^2-2s+2}\mathrm ds=\int\frac{1}{(s-1)^2+1}\mathrm ds=\\
=\int\frac{1}{t^2+1}\mathrm dt\;\begin{pmatrix}
t=s-1\\
\mathrm dt=\mathrm ds
\end{pmatrix}=\mathrm{arctg}(t)+C=\mathrm{arctg}(s-1)+C[/dispmath]
[dispmath]I_2=\int\frac{2s-2}{s^2-2s+2}\mathrm ds=\int\frac{1}{u}\mathrm du\;\begin{pmatrix}
u=s^2-2s+2\\
\mathrm du=2s-2
\end{pmatrix}=\ln\left|u\right|+C=\ln\left|s^2-2s+2\right|+C[/dispmath]
Iz prethodnog je
[dispmath]I_1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}I_2+I_3-I_4\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\ln\left|s^2-2s+2\right|+\mathrm{arctg}(s-1)-\ln\left|s\right|\right)+C[/dispmath]
Iz prethodnog imamo,
[dispmath]I=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+2I_1=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+\frac{1}{2}\ln\left|s^2-2s+2\right|+\mathrm{arctg}(s-1)-\ln\left|s\right|+C=\\
=-\frac{\ln\left(x^2+1\right)}{(x+1)}+\frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+\mathrm{arctg}(x)-\ln\left|x+1\right|+C[/dispmath]
Konacno,
[dispmath]I=\frac{(x-1)\ln\left(x^2+1\right)-2(x+1)\ln(x+1)}{2(x+1)}+\mathrm{arctg}\:x+C[/dispmath]

apples je napisao:[dispmath]f=\ln\left(s^2-2s+2\right)\;\Rightarrow\;\mathbf{df}=\frac{\mathrm d\left(s^2-2s+2\right)}{s^2-2s+2}=\mathbf{\frac{2(s-1)}{s^2-2s+2}}[/dispmath]

Ovde nedostaje [inlmath]\mathrm ds[/inlmath] sa desne strane.
Postupak je ok.
Rezultat zadatka je tačan.