MATEMANIJA

Evo jednog prastarog zadatka:
[dispmath]I=\int\limits_0^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
Ja sam ga svojevremeno radio ovako:
[dispmath]I=\int\limits_0^1\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx+\int\limits_1^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
Smatrao sam da je granična vrednost ispod prvog integrala jednaka [inlmath]x^2e^x[/inlmath] a ispod drugog da je nula, pošto [inlmath]x^n\to0[/inlmath] kada je [inlmath]0\le x<1[/inlmath] i [inlmath]x^n\to\infty[/inlmath] kada je [inlmath]1<x\le2[/inlmath]. Elegantno sam preskočio [inlmath]x=1[/inlmath]. Dobije se integral koji se lako rešava uz dve parcijalne integracije:
[dispmath]\int\limits_0^1x^2e^x\mathrm dx=e-2[/dispmath]
Pošto je takvo rešenje bilo i u zbirci, nisam ja to dalje ni proveravao. E, sad se pitam da li je to baš tako . Šta mi je uopšte i trebalo da sređujem podrum, ne bih ni našao svoju staru svesku s ovim zadatkom.
Zaista, šta se dešava kada je [inlmath]x=1[/inlmath]? Podintegralna funkcija [inlmath]f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}[/inlmath] u toj tački definitivno ima prekid. Njena vrednost iznosi:
[inlmath]f(1)=\frac{e}{2}[/inlmath]. Malo levo od jedinice njena vrednost je [inlmath]e[/inlmath]. Malo desno od jedinice vrednost je [inlmath]0[/inlmath]. To znači da je u toj tački ispunjen Dirihleov uslov:
[dispmath]f(x_0)=\frac{f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2}[/dispmath]
Dobro, pa? Mis'im, tačka ko tačka, neće ni uticati na vrednost određenog integrala, samo da se ne skoči u zagrljaj gospođici Asimptoti Vertikalnoj. Možda je ovo moje razdvajanje na dva integrala čak i korektno. Ili, nije valjda da je trebalo pisati na početku (deluje mi malo previše):
[dispmath]I=\lim_{\epsilon\to0^+}\int\limits_0^{1-\epsilon}\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx+\lim_{\epsilon\to0^+}\int\limits_{1+\epsilon}^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
i onda dalje sve isto... Šta vi mislite?

Mozes sve posmatrati na sledeci nacin (neke stvari ponavljam o kojima si vec pisao, no zbog šire slike to cinim):

Neka je [inlmath]\displaystyle f_n(x)=\frac{x^2 e^x}{1+x^n}[/inlmath] i [inlmath]f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)[/inlmath]. Tada je [inlmath]f(x) = \begin{cases} x^2 e^x, & 0 \le x < 1\\ e/2, & x=1, \\ 0, & 1<x \le 2.\end{cases}[/inlmath]. Takodje, imajmo na umu i sledecu teoremu: ako je [inlmath]f[/inlmath] Riman integrabilna funkcija na [inlmath][a,c][/inlmath] i [inlmath]a<b<c[/inlmath] tada je [inlmath]f[/inlmath] Riman integrabilna na [inlmath][a,b][/inlmath] i Riman integrabilna na [inlmath][b,c][/inlmath] i vazi jednakost [inlmath]\displaystyle \int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx[/inlmath].

I onda vidis da smes da iskoristis dato razdvajanje integrala bez bilo kakve bojaznosti, jer je funkcija [inlmath]f[/inlmath] iz naseg primera Riman integrabilna na [inlmath][0,2][/inlmath] (npr. jer je tu ogranicena i jer je skup tacaka prekida mere (Lebegove) nula). Takodje (uz malo „krivo“ koriscenje same notacije) imamo i da je [inlmath]\displaystyle\int_{[0,1]} f(x)\, dx = \int_{[0,1)} f(x)\, dx[/inlmath], jer vrednost u jednoj tacki ne utice na sam integral (jer je to skup mere nula).

Ono sto hocu da kazem je da nas niko ne bije po usima da se pozivamo na neprekidnost funkcije, jer je dovoljna samo integrabilnost (koju ne moramo dobiti iz neprekidnosti).

Takodje, ovo za Dirihleov uslov, verujem da si to nekako povezivao sa Furijeovim redovima, ali to zaista nije povezano sa prethodnom pricom.