MATEMANIJA

Već dosta dugo pokušavam da rešim sledeći zadatak iz udžbenika matematike za četvrti razred gimnazije od autora Milutina Obradovića i Dušana Georgijevića. Zadatak se nalazi u oblasti 3.3.1 Definicija i egzistencija određenog integrala i glasi ovako: Deleći interval integracije tako da apscise deonih tačaka obrazuju geometrijski niz pokaži da je
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\ln2[/dispmath]
Nemam blage veze odakle da počnem. Neke ideje za rešavanje su mi bile da koristim
[dispmath]\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(x_i)(x_{i+1}-x_i)\\
\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}(x_{i+1}-x_i)\\
\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\left[\frac{x_{i+1}}{x_i}-1\right][/dispmath]
Odavde ne znam odakle da krenem jedino što još znam je da sledeći niz teži prirodnom logaritmu
[dispmath]\lim_{n\to\infty}n\cdot\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)=\ln a[/dispmath]
Pa mi deluje da gornja suma ima veze sa tim.
Ovde je [inlmath]\lambda=\max(x_{i+1}-x_i)[/inlmath]

Prvo, dobrodošlica na forum i sve pohvale za način na koji postavljaš pitanje.

OK, znači, stigao/la si do koraka
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_{i+1}}{x_i}-1\right)[/dispmath]
Količnik [inlmath]\frac{x_{i+1}}{x_i}[/inlmath] predstavlja količnik geometrijske progresije koju obrazuju apscise deonih tačaka. Možemo ga označiti sa [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\left(q-1\right)[/dispmath]
Pošto [inlmath]q[/inlmath] ne zavisi od brojača [inlmath]i[/inlmath], a samim tim ne zavisi ni [inlmath]\left(q-1\right)[/inlmath], taj faktor može izaći ispred sume:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left(q-1\right)\sum_{i=1}^n1[/dispmath]
Suma [inlmath]\sum\limits_{i=1}^n1[/inlmath] je, naravno, [inlmath]\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\mbox{ jedinica}}[/inlmath], a to ukupno iznosi [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left[\left(q-1\right)\cdot n\right]\qquad\left(1\right)[/dispmath]
Potrebno je [inlmath]n[/inlmath] izraziti preko [inlmath]q[/inlmath]. Posmatramo geometrijski niz koji obrazuju apscise deonih tačaka:
[inlmath]x_1=1\\
x_2=q\\
x_3=q^2\\
\vdots\\
x_i=q^{i-1}\\
\vdots\\
x_n=2[/inlmath]
Pošto je [inlmath]x_n=q^{n-1}[/inlmath], a [inlmath]x_n=2[/inlmath], odatle sledi da je [inlmath]q^{n-1}=2[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]n=1+\log_q2[/dispmath]
to jest
[dispmath]n=1+\frac{\ln2}{\ln q}[/dispmath]
Uvrstimo to u izraz [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left[\left(q-1\right)\cdot\left(1+\frac{\ln2}{\ln q}\right)\right]\\
\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left(q-1+\frac{q-1}{\ln q}\ln2\right)[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\lambda=\max(x_{i+1}-x_i)[/inlmath], sledi [inlmath]\lambda=\max\big(x_i(q-1)\big)[/inlmath], a odatle, pošto je [inlmath]q-1[/inlmath] konstantno u smislu da ne zavisi od [inlmath]i[/inlmath], sledi [inlmath]\lambda=\left(q-1\right)\max\left(x_i\right)[/inlmath]. Znamo da je [inlmath]\max\left(x_i\right)=2[/inlmath] (gornja granica integraljenja), pa je [inlmath]\lambda=2\left(q-1\right)[/inlmath]. Otuda, kada [inlmath]\lambda[/inlmath] teži nuli, [inlmath]q[/inlmath] teži jedinici:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{q\to1}\left(q-1+\frac{q-1}{\ln q}\ln2\right)\\
\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\left(\ln2\right)\lim_{q\to1}\frac{q-1}{\ln q}[/dispmath]
Uvođenjem smene [inlmath]q=e^t[/inlmath] limes svodimo na poznat oblik [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}[/inlmath], za koji znamo da iznosi [inlmath]1[/inlmath]. Prema tome,
[dispmath]\enclose{box}{\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\ln2}[/dispmath]

Neizmerno vam zahvaljujem na pomoći, objašnjenje sam razumeo u potpunosti.

Probaću da uradim skoro isti zadatak (malo opštiji), gde je po definiciji određenog integrala i uz korišćenje geometrijske progresije potrebno dokazati:
[dispmath]\int\limits_a^b\frac{\mathrm dx}{x}=\ln\frac{b}{a}\quad a>1[/dispmath]
Poći ću od sledećeg:
Količnik [inlmath]q[/inlmath] geometrijske progresije odredimo iz uslova da poslednji član progresije bude [inlmath]b[/inlmath] , to jest [inlmath]q[/inlmath] se određuje iz jednakosti:
[dispmath]aq^n=b\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt[n]\frac{b}{a}[/dispmath]
Sada je integralna suma:
[dispmath]S_n=\frac{1}{a}(aq-a)+\frac{1}{aq}\left(aq^2-aq\right)+\frac{1}{aq^2}\left(aq^3-aq^2\right)+\cdots+\frac{1}{aq^{n-1}}\left(aq^n-aq^{n-1}\right)\\
S_n=n(q-1)[/dispmath]
Dalje je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}n\cdot\left(q-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\cdot\left(\sqrt[n]\frac{b}{a}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\cdot\left(\left(\frac{b}{a}\right)^\frac{1}{n}-1\right)=\ln\frac{b}{a}[/dispmath]
Ovo deluje kraće i elegantnije od načina koji je pokazao @Danel. Dobije se traženi rezultat ali... Ovo po mom mišljenju nije dobro. Naime, po definiciji određenog integrala potrebno je da [inlmath]\lambda=\max(x_{i+1}-x_i)[/inlmath] teži nuli. Na prvi pogled isto se dobija i kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] , no na drugi pogled nije tako. Evo i kontra primera: pošto je određeni integral po definiciji jednak graničnoj vrednosti integralne sume, ako ta granična vrednost postoji nezavisno od izbora tačaka i nezavisno od podele intervala mogao bih interval [inlmath][a,b][/inlmath] najpre da podelim na pola, a onda preostalu polovinu da delim na mnogo delova. Ovde bi opet [inlmath]n[/inlmath] težilo beskonačnosti, ali [inlmath]\lambda[/inlmath] ne bi težilo nuli. Deluje mi da sam u pravu kada kažem da nisam bio u pravu sa ovom idejom za rešavanje zadatka... No, zanima me i mišljenje drugih.

to je u kontradikciji sa definicijom odredjenog integrala, odredjeni integral je povrsina... i mozemo zakljuciti da ona zavisi samo od funkcije i granica, a u tvom primjeru bi zavisilo i od "[inlmath]n[/inlmath]" , pa mozemo zakljuciti da je to nemoguce jer je ta povrsina omedjena samo [inlmath]x[/inlmath] osom, granicama i funkcijom pa tako i da sama vrijednost te povrsine zavisi samo od tih faktora...

Ipak ne zavisi od [inlmath]n[/inlmath]. Naime, kada se limes nađe, [inlmath]n[/inlmath] nestaje. To bi bilo kao kada bismo rekli da zavisi od [inlmath]\lambda[/inlmath] u načinu (tačnom) na koji je uradio @Daniel. U tome nije greška.

I u načinu @desideri [inlmath]\lambda\to0[/inlmath].
[dispmath]\lambda=\max(x_{i+1}-x_i)\\
\lambda=(q-1)\max(x_i)=b\cdot(q-1)[/dispmath]
I odavde kad [inlmath]\lambda\to0[/inlmath] tada [inlmath]q\to1[/inlmath]
A iz
[dispmath]q=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}[/dispmath]
i sada kada [inlmath]q\to1[/inlmath] imamo [inlmath]n\to\infty[/inlmath] tako da mislim da je i ovom slučaju uslov ispunjen.

Posle posta od @Trougao i meni deluje da nisam bio u pravu kada rekoh da nisam u pravu .

I ja mislim da si u pravu kad kažeš da nisi bio u pravu kad si rekô da nisi u pravu.

Drugim rečima, pošto je na osnovu ovoga

Trougao je napisao:[dispmath]\lambda=\max(x_{i+1}-x_i)\\
\lambda=(q-1)\max(x_i)=b\cdot(q-1)[/dispmath]
I odavde kad [inlmath]\lambda\to0[/inlmath] tada [inlmath]q\to1[/inlmath]

zaključeno da [inlmath]q[/inlmath] mora težiti jedinici, samim tim, ako si za prvi član niza uzeo [inlmath]a[/inlmath], drugi član niza će biti [inlmath]aq[/inlmath], pa zbog [inlmath]q\to1[/inlmath] taj drugi član niza mora biti vrlo blizak prvom članu [inlmath]a[/inlmath], dakle ne možeš ga postaviti na sredini intervala...

Može se pokazati da, kad bi drugi član niza postavio na sredini intervala, dobio bi da [inlmath]n[/inlmath] mora biti konačno, tj. tada bi postojalo neko [inlmath]n_0[/inlmath] za koje bi svi članovi geometrijskog niza počev od [inlmath]a_{n_0}[/inlmath] pa nadalje bili veći od gornje granice [inlmath]b[/inlmath]...