MATEMANIJA

[dispmath]\int\frac{\cos^3x\mathrm dx}{\sin^4x}[/dispmath]
Pokusao sam ovako
[dispmath]\int\frac{\cos^2x\cdot\cos x\mathrm dx}{\sin^2x\cdot\sin^2x}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\left(1-\sin^2x\right)\cdot\cos x\mathrm dx}{\sin^2x\cdot\sin^2x}[/dispmath]
Ali ne znam da li sam na pravom putu.....ili ipak treba neka smena

Rastavi taj integral na dva integrala, u oba stavi smjenu [inlmath]t=\sin x[/inlmath] i kasnije ce ti biti lako...

@Sinisa je kratko i jasno sve objasnio. Možda bih samo dodao da kad god imaš kombinaciju sinusa na parni i kosinusa na neparni stepen ili obrnuto možeš da radiš na primer ovako ([inlmath]n=1,2,3,\ldots[/inlmath]):
[dispmath]I=\int\frac{\cos^{2n+1}x\mathrm dx}{\sin^{2n}x}=\int\frac{\cos^{2n}x\cdot\cos x\mathrm dx}{\sin^{2n}x}=\int\frac{\left(1-\sin^2x\right)^nx\cdot\cos x\mathrm dx}{\sin^{2n}x}[/dispmath]
Posle smene [inlmath]\sin x=t\quad\cos x\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath] dobije se:
[dispmath]I=\int\frac{\left(1-t^2\right)^n\mathrm dt}{t^{2n}}=\int\left(t^{-2}-1\right)^n\mathrm dt[/dispmath]
Izraz [inlmath]\left(t^{-2}-1\right)^n[/inlmath] se sada može razviti preko binomne formule no ona ti nije potrebna za na primer [inlmath]n=2[/inlmath] ili [inlmath]n=3[/inlmath], mada se i tu zapravo ta formula primenjuje (kvadrat ili kub binoma):
[dispmath]I=\int\left(t^{-2}-1\right)^2\mathrm dt=\int\left(t^{-4}-2t^{-2}+1\right)\mathrm dt[/dispmath]
Ovo se sada razdvaja na tri tablična integrala.

Kad već govorimo o uopštavanju slučaja da u brojiocu imamo neparni a u imeniocu parni stepen, može se to još više uopštiti, tako što uzmemo u opštem slučaju različite prirodne brojeve [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\cos^{2m+1}x\mathrm dx}{\sin^{2n}x}\overset{\sin x=t}{=\!=\!=\!=}\int\frac{\left(1-t^2\right)^m\mathrm dt}{t^{2n}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\sin^{2m+1}x\mathrm dx}{\cos^{2n}x}\overset{\cos x=t}{=\!=\!=\!=}-\int\frac{\left(1-t^2\right)^m\mathrm dt}{t^{2n}}[/dispmath]