MATEMANIJA

U pitanju je ovaj integral. Rješava se metodom parcijalne integracije. Koju god od formula da primjenim za parcijalnu integraciju uvijek dobijem još komplikovaniji integral. Poprilično se zakomplikuje. Sigurno ima neki fazon da se ovo skrati. Pokušavao sam ovako [inlmath]u=e^{3x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=\cos2x\,\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=[/dispmath]

Ako se dobro secam ovo su tzv. kruzni integrali, gde ce sada biti [inlmath]\cos2x=u[/inlmath] i [inlmath]e^3x\,\mathrm dx=\mathrm dv[/inlmath].

Ovaj integral je stavljen u parcijalnu integraciju. Nigdje se kružni ne spominje.

Posto bi ovaj integral stalno vrteo parcijalnu integraciju, koristi se obrazac:
[dispmath]I=\frac{e^{ax}(a\cdot\sin bx-b\cdot\cos bx)}{a^2+b^2}+c[/dispmath] Ovde je [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=2[/inlmath].

Sada je lako samo se primjeni taj obrazac. Može li malo detaljnije o tome obrazcu? Kako se to tačno zove? I zapravo kako se on izvodi?

ovaj zadatak se moze uraditi uz pomoc parcijalne integracije...

taj novi "podjednako" komplikovani integral sto dobijes opet rastavi parcijalnom integracijom, kada to uradis dobices pocetni integral... prati znak jednakosti, sve prebaci na jednu stranu i izrazi taj pocetni integral

Ako imamo integral u opstem obliku [inlmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx[/inlmath] resavao bi se parcijalnom:
[dispmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx=\begin{vmatrix}\sin bx=u & \hspace{2em}e^{ax}\,\mathrm dx=\mathrm dv\\ b\cos bx\,\mathrm dx=\mathrm du & \hspace{2em}\frac{1}{a}e^{ax}=v\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]=\sin bx\cdot\frac{1}{a}\cdot e^{ax}-\int\frac{1}{a}e^{ax}b\cos bx\,\mathrm dx=\frac{e^{ax}\sin bx}{a}-\frac{b}{a}\enclose{box}{\int e^{ax}\cos bx\,\mathrm dx}[/dispmath] Sad opet ide parcijalna na ovaj uokvireni integral, odakle se dobije pocetni integral, kao sto rece @Sinisa. To se zameni sa [inlmath]I[/inlmath] (sto je pocetni integral) i onda se to [inlmath]I[/inlmath]izrazi preko toga, malo sredi i dobije se obrazac koji sam na pocetku napisao, a koji moze da se koristi kod ovakvog tipa integrala.

ja uvijek dok radim smisljam sta dalje, nikad nisam razmisljao o tome da radim preko opste formule... cini mi se jednostavnije ispisati 2 reda nego uciti formulu napamet

Sinisa je napisao:ja uvijek dok radim smisljam sta dalje, nikad nisam razmisljao o tome da radim preko opste formule... cini mi se jednostavnije ispisati 2 reda nego uciti formulu napamet

Ovo mi se baš svidelo .

Termin "kružni integrali" jeste malo redak, ali se spominje. To znači da, primenjujući parcijalnu integraciju dva puta, dobijemo polazni integral. Slobodno interpretirano, posle dve parcijalne se dobije:
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=\mbox{nešto1}+\mbox{nešto2}\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx[/dispmath] Odavde je jasno da je:
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=\frac{\mbox{nešto1}}{1-\mbox{nešto2}}[/dispmath] Nemojte me shvatiti bukvalno, ali u ovome je suština. Ne znam šta će uopšte neka formula za ovo, po meni je uputnije znati princip, uraditi dve parcijalne i dobiti rezultat.

Nisam znao da to označava kružni integral. Ima neke logike, vrtimo se u krug Kada je spomenut kružni mene je odmah to asociralo tamo na dužinu kružnog luka. I bolje je ovako raditi nego učiti formulu napamet. Kada smo već kod toga kružnoga integrala ja sam kod ova integrala koristio iste oznake za smjenu [inlmath]t[/inlmath] i diferencijale. Sada ne znam kada bi to neko pregledao da li bi stvaralo neku zabunu? Koristio sam iste oznake namjerno jer se dobije odmah isti diferencijal [inlmath]\mathrm du[/inlmath].