MATEMANIJA

U pitanju je ovaj integral. Rješava se metodom parcijalne integracije. Koju god od formula da primjenim za parcijalnu integraciju uvijek dobijem još komplikovaniji integral. Poprilično se zakomplikuje. Sigurno ima neki fazon da se ovo skrati. Pokušavao sam ovako [inlmath]u=e^{3x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=\cos2x\,\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=[/dispmath]

Ako se dobro secam ovo su tzv. kruzni integrali, gde ce sada biti [inlmath]\cos2x=u[/inlmath] i [inlmath]e^3x\,\mathrm dx=\mathrm dv[/inlmath].

Ovaj integral je stavljen u parcijalnu integraciju. Nigdje se kružni ne spominje.

Posto bi ovaj integral stalno vrteo parcijalnu integraciju, koristi se obrazac:
[dispmath]I=\frac{e^{ax}(a\cdot\sin bx-b\cdot\cos bx)}{a^2+b^2}+c[/dispmath] Ovde je [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=2[/inlmath].

Sada je lako samo se primjeni taj obrazac. Može li malo detaljnije o tome obrazcu? Kako se to tačno zove? I zapravo kako se on izvodi?

ovaj zadatak se moze uraditi uz pomoc parcijalne integracije...

taj novi "podjednako" komplikovani integral sto dobijes opet rastavi parcijalnom integracijom, kada to uradis dobices pocetni integral... prati znak jednakosti, sve prebaci na jednu stranu i izrazi taj pocetni integral

Ako imamo integral u opstem obliku [inlmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx[/inlmath] resavao bi se parcijalnom:
[dispmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx=\begin{vmatrix}\sin bx=u & \hspace{2em}e^{ax}\,\mathrm dx=\mathrm dv\\ b\cos bx\,\mathrm dx=\mathrm du & \hspace{2em}\frac{1}{a}e^{ax}=v\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]=\sin bx\cdot\frac{1}{a}\cdot e^{ax}-\int\frac{1}{a}e^{ax}b\cos bx\,\mathrm dx=\frac{e^{ax}\sin bx}{a}-\frac{b}{a}\enclose{box}{\int e^{ax}\cos bx\,\mathrm dx}[/dispmath] Sad opet ide parcijalna na ovaj uokvireni integral, odakle se dobije pocetni integral, kao sto rece @Sinisa. To se zameni sa [inlmath]I[/inlmath] (sto je pocetni integral) i onda se to [inlmath]I[/inlmath]izrazi preko toga, malo sredi i dobije se obrazac koji sam na pocetku napisao, a koji moze da se koristi kod ovakvog tipa integrala.

ja uvijek dok radim smisljam sta dalje, nikad nisam razmisljao o tome da radim preko opste formule... cini mi se jednostavnije ispisati 2 reda nego uciti formulu napamet

Sinisa je napisao:ja uvijek dok radim smisljam sta dalje, nikad nisam razmisljao o tome da radim preko opste formule... cini mi se jednostavnije ispisati 2 reda nego uciti formulu napamet

Ovo mi se baš svidelo .

Termin "kružni integrali" jeste malo redak, ali se spominje. To znači da, primenjujući parcijalnu integraciju dva puta, dobijemo polazni integral. Slobodno interpretirano, posle dve parcijalne se dobije:
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=\mbox{nešto1}+\mbox{nešto2}\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx[/dispmath] Odavde je jasno da je:
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=\frac{\mbox{nešto1}}{1-\mbox{nešto2}}[/dispmath] Nemojte me shvatiti bukvalno, ali u ovome je suština. Ne znam šta će uopšte neka formula za ovo, po meni je uputnije znati princip, uraditi dve parcijalne i dobiti rezultat.

Nisam znao da to označava kružni integral. Ima neke logike, vrtimo se u krug Kada je spomenut kružni mene je odmah to asociralo tamo na dužinu kružnog luka. I bolje je ovako raditi nego učiti formulu napamet. Kada smo već kod toga kružnoga integrala ja sam kod ova integrala koristio iste oznake za smjenu [inlmath]t[/inlmath] i diferencijale. Sada ne znam kada bi to neko pregledao da li bi stvaralo neku zabunu? Koristio sam iste oznake namjerno jer se dobije odmah isti diferencijal [inlmath]\mathrm du[/inlmath].

Gamma je napisao:Kada smo već kod toga kružnoga integrala ja sam kod ova integrala koristio iste oznake za smjenu [inlmath]t[/inlmath] i diferencijale. Sada ne znam kada bi to neko pregledao da li bi stvaralo neku zabunu? Koristio sam iste oznake namjerno jer se dobije odmah isti diferencijal [inlmath]\mathrm du[/inlmath].

Ma nema to veze, Gamma, u pravu si što olakšavaš sebi. Nijedan profesor ti to ne bi zamerio.
E, sad, ako baš i zameri, i nije neki profesor .

Uvijek je bolje malo skratiti kada se može

Apsolutno se slazem sa @desideri da je bolje znati princip i uraditi dve parcijalne, nego bubati formule napamet.

Evo da ne otvaram novu temu bez veze. Imam jedan integral koji se svodi na ovaj. Može se svesti preko kosinusa polovičnog ugla pa onda na istu foru kružna integracija. Prvo se svede na dva integrala pa onda se drugi rješava kružnom integracijom. Pitanje je da li se ovaj integral može ikako drugačije riješiti?
[dispmath]\int e^x\cos^2x\,\mathrm dx=[/dispmath]

ne moze, parcijalnom integracijom svedes ovaj integral na "nesta" [inlmath]-[/inlmath] "integral koji si postavio na pocetku ove teme"... umjesto [inlmath]\cos2x[/inlmath] stoji [inlmath]\sin2x[/inlmath] ali to ne igra neku bitnu ulogu, to opet rastavljas parcijalnom integracijom i znas vec sta slijedi...

ja nikad nisam cuo za taj pojam "kruzna integracija", mislim to je sve u sklopu parcijalne integracije... rastavis integral, imas istu nepoznatu sa obije strane jednakosti i to je to... mislim da taj pojam ne postoji

Rastavio sam ja to sve. I uradio naravno rješenje je tačno. Nisam rekao da mi nije jasno kako da ga svedem. Samo sam pitao da li posotji još ikakav način. Kao što kažu bolje jedan zadatak na više načina nego više zadataka na isti način !

Posto vidim da sam uneo pometnju , samo da razjasnim. Integral sa pocetka, kao i ovaj sada, resava se parcijalnom integracijom. Posto kod nje postoji vise karakteristicnih tipova integrala (u zavisnosti od toga sta se uzima kao [inlmath]u[/inlmath], a sta kao [inlmath]\mathrm dv[/inlmath]), za ovaj tip integrala postoji taj izraz kruzni integral jer se parcijalna integracija mora ponoviti dva ili vise puta za resavanje integrala.

I ja sam prvi put čuo za taj pojam. Odaklen ti ? Iz neke knjige ili ? Dok na netu nema ništa o tome.

Znam da sam negde odavno procitao, ali mislim da je to samo posluzilo kao naziv da bi se opisalo da se radi o vise uzastopnih parcijalnih integracija u integralu. Ne verujem da je to neki strucni naziv za integral takve vrste.