MATEMANIJA

Radi se o ovome integralu. Koji spada u poglavlje parcijalne integracije. Ja ga svedem preko parcijalne integracije [inlmath]u=\arcsin x[/inlmath] i [inlmath]v=-\frac{1}{x}[/inlmath]. Međudim dobijem jedan dio rješenja. Ali ovaj drugi integral ne znam kako da riješim. Pokušavao sam preko smjene ali još više zakomplikujem. Naravno pokušavao sam i preko svođenja na polazni integral (taj kružni integral) ali ne može se tako uraditi na kraju se dobije jednakost [inlmath]0=0[/inlmath].
[dispmath]\int x^{-2}\arcsin x\mathrm dx=-\frac{1}{x}\arcsin x+\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx[/dispmath]

taj drugi integral opet rastavi parcijalnom integracijom...

Jesi li uradio ovaj drugi integral parcijalnom integracijom? Pročitaj šta sam već napisao kada ga uradim parcijalom integracijom opet dobijem polazni integral. I ne može se tako uraditi zadatak. Tačnije ne može se izraziti taj integral jer se dobije jednakost [inlmath]0=0[/inlmath]

Je l' imas krajnje resenje zadataka, cisto da vidim nesto?

Misliš jesam li ga ja riješio? Ili da ti dam samo rezultat koji treba da se dobije?

Rezultat koji treba da se dobije.

Šta te tačno interesuje?
[dispmath]\int x^{-2}\arcsin x\mathrm dx=-\frac{1}{x}\arcsin x+\ln x-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)+c[/dispmath]

Uokvireni integral trebalo bi resiti kao integral iracionalne funkcije:
[dispmath]\int x^{-2}\arcsin x\mathrm dx=-\frac{1}{x}\arcsin x+\enclose{box}{\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx}[/dispmath]
Ovaj integral moze se svesti na oblik [inlmath]x^m\left(a+bx^n\right)^p[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx=\int x^{-1}\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
gde je [inlmath]m=-1[/inlmath], [inlmath]n=2[/inlmath], [inlmath]p=\frac {1}{2}[/inlmath], [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=-1[/inlmath]. Sada ovde mozemo imati vise situacija. Posto je ovde [inlmath]\frac{m+1}{n}=0[/inlmath], sto je ceo broj, uvodi se smena [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath], gde je [inlmath]s[/inlmath] imenilac od [inlmath]p[/inlmath].

Ne znam na kom nivou skolovanja je ovaj zadatak, te samim tim ne znam da li si upoznat sa integralom iracionalne funkcije. Ja ne vidim drugi nacin za resavanje (iako je zadatak stavljen striktno u oblast parcijalne integracije).

Zadatak je iz zbirke za 4-ti razred srednje škole. Slabo sam upoznat sa integraciom iracionalnih fukncija. I ovde mi je nekako glupo da učim tu formulu za smjenu napamet. Ako se mora raditi ovako uopšte ne znam što su ga onda smjestili u parcijalnu integraciju.

Integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{1-x^2}}[/inlmath] može se, uz malo intuicije, uraditi i „peške“, bez poznavanja formule [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath].
Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]2x[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{2x\mathrm dx}{2x^2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(x^2\right)}{x^2\sqrt{1-x^2}}=[/dispmath]
Pošto [inlmath]x[/inlmath] svuda figuriše kao [inlmath]x^2[/inlmath], možemo uvesti smenu [inlmath]x^2=t[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{t\sqrt{1-t}}=[/dispmath]
a zatim, kako bismo se oslobodili korena, smenu [inlmath]\sqrt{1-t}=u[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{1-t}=u\\
1-t=u^2\\
t=1-u^2\\
\mathrm dt=-2u\mathrm du[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{\cancel2}\int\frac{-\cancel2\cancel u\mathrm du}{\cancel u\left(1-u^2\right)}=-\int\frac{\mathrm du}{1-u^2}[/dispmath]
što je oblik do kojeg bismo došli i korišćenjem pomenute formule [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath].

Dalje se, naravno, radi kao integral racionalne funkcije...

Sada nije mi jasno kako dalje sa rješavanjem tog racionalnog integrala. Treba nekako da dobijem logaritam.

Pogledaj integrale racionalnih funkcija.

U školi smo malo govorili o ovome.