MATEMANIJA

Naci zapreminu tijela koje nastaje rotacijom elipse (x^2)/2+(y^2)/3=1 oko prave y=3.
Problem mi je sto ne znam postaviti integral kad nije rotacija oko Ox ili Oy vec tako oko neke prave.

Da li je zadatak ispravno napisan? Ne vidim kako bi data elipsa mogla da rotira oko ove prave.

Zadatak je dobro napisan, pomjeri centar elipse za [inlmath]3[/inlmath] na [inlmath]y[/inlmath] osi i onda nadji zapreminu tijela koje nastaje rotacijom te nove elipse oko [inlmath]x[/inlmath] ose, zapremina je ista

Centar nove elipse je [inlmath](0;-3)[/inlmath]

Umjesto [inlmath]y^2[/inlmath] pisi [inlmath](y+3)^2[/inlmath]

- procitaj pravila ovog foruma prije nego sto objavis sledeci zadatak...

Naslov teme, kao i sadržaj, u suprotnosti je s više članova pravilnika. To prvo. Bez ikakve šale, molim administratora @Daniel da zaključa temu. Ja to ne bih iz principa, ponekad se šalim u vezi s tim, ali ne sada.
Svaka čast na postovima, @Ilija i @Sinisa.

desideri je napisao:Naslov teme, kao i sadržaj, u suprotnosti je s više članova pravilnika. To prvo. Bez ikakve šale, molim administratora @Daniel da zaključa temu.

Da znaš da bi zaista to sad trebalo da uradim. Ali, budući da je u pitanju nova članica, kao i da je ipak ispoštovala tačku 6. Pravilnika (koja je, pored tačke 13, jedna od najbitnijih), ipak ću joj ovog puta (i samo ovog puta) to istolerisati.

Samo, @dadafizika, zaista mi nije jasno kako je moglo da ti prilikom čitanja Pravilnika promakne da je reč Hitno! u naslovu teme izričito zabranjena, kad je to sasvim jasno u tački 9. naglašeno?
Uputstvo za Latex (koji je obavezan na ovom forumu) imaš ovde.

Je li ko uradio ovo do kraja? Sinisa, ne bih rekao da ćemo imati velike koristi od te translacije. Jer u integralu zapremine figuriše [inlmath]f^2(x)[/inlmath] a ne [inlmath](f(x)+3)^2[/inlmath]. Upravo elipsa čiji centar se nalazi van kordinatnog početka malo je nezgodna po tome pitanju. Kada izraziš [inlmath]f(x)[/inlmath] samo a i kada ga kvadriraš ponovo ćeš dobiti izraz u kojem se nalazi [inlmath]\pm[/inlmath]. Mislim da se ovo može uraditi i bez translacije ali nisam siguran, imam neku ideju ali ako uradim postaviću rješenje. Ideja se svodi na to da da uvijek oduzimamo vrijednost [inlmath]f(x)[/inlmath] od [inlmath]3[/inlmath] pa to predstavimo kao funkciju i uradimo integral zapremine.

Pravilnik nisam ni citala jer mi je bilo hitno, a zato sam se i registrirala na ovaj forum (radi tog jednog zadatka),a Latex nemam na telefonu.. Poz
Usput hvala.

dadafizika je napisao:Pravilnik nisam ni citala jer mi je bilo hitno, a zato sam se i registrirala na ovaj forum (radi tog jednog zadatka)

E, pa dobro onda... Znači, može ban.

@gamma, izrazis [inlmath]y^2[/inlmath], korjenujes i od desne strane oduzmes [inlmath]3[/inlmath]... na taj nacin ces dobiti funkciju o kojoj si pricao

Gamma je napisao:Sinisa, ne bih rekao da ćemo imati velike koristi od te translacije.

*ako ne bi, onda nemoj... ja te necu tjerati

Mozda ja ovo ne kapiram, ali meni opet nije jasno kako ce i nova elipsa da rotira oko prave [inlmath]y=3[/inlmath] ako se umesto [inlmath]y^2[/inlmath] stavi [inlmath](y+3)^2[/inlmath], jer se dobije elipsa jos udaljenija od date prave. Zar ne bi trebalo da se stavi [inlmath](y-3)^2[/inlmath]?

ja nisam rekao da se nova elipsa rotira oko [inlmath]y=3[/inlmath] vec se rotira oko [inlmath]x[/inlmath] ose [inlmath]y=0[/inlmath]

pomjeri sve za [inlmath]3[/inlmath] prema dole (po [inlmath]y[/inlmath] osi) ova prava [inlmath]y=3[/inlmath] ce biti [inlmath]y=0[/inlmath] u tom novom koordinatnom sistemu a elipsin centar ce biti [inlmath](0;-3)[/inlmath]

[inlmath](y-q)^2\quad\longrightarrow\quad q=-3[/inlmath]

Sinisa je napisao:ja nisam rekao da se nova elipsa rotira oko prema [inlmath]y=3[/inlmath] vec se rotira oko [inlmath]x[/inlmath] ose [inlmath]y=0[/inlmath]

Da, da, sad sam provalio hahaha.

mene jedino buni sto nikad nismo radili elipsu ciji centar nije u koordinatnom pocetku...

Sinisina elipsa se neće rotirati oko [inlmath]y[/inlmath] prave već oko [inlmath]x[/inlmath] ose ali isto je kako god okreneš moraće se rotirati. Probaj nacrtati skicu biće ti mnogo jasnije.

Sinisa je napisao:mene jedino buni sto nikad nismo radili elipsu ciji centar nije u koordinatnom pocetku...

To izlazi van okvira srednjoškolskog gradiva. Radi se fax-u. Ali ponovo s tom translacijom si još više zakomplikovao stvar. Zadatak se tako ne može uraditi.

Gamma je napisao:Sinisina elipsa se neće rotirati oko [inlmath]y[/inlmath] prave već oko [inlmath]x[/inlmath] ose

Gamma, [inlmath]x[/inlmath]-osa predstavlja pravu [inlmath]y=0[/inlmath].

Gamma je napisao:Ali ponovo s tom translacijom si još više zakomplikovao stvar. Zadatak se tako ne može uraditi.

Može se uraditi, i nije time ništa zakomplikovano.

Mislio sam na pravu [inlmath]y=3[/inlmath] kada sam rekao [inlmath]y[/inlmath] prava.
Hmm, učinila mi se suvišno ta translacija. Je li iša jednostavnije ili to je tu negdje? Ja sam pokušavao da uradim preko te translatirane elipse. Ali kao što sam već rekao uvijek za [inlmath]f(x)[/inlmath] dobijem izraz u kojeme ima [inlmath]\pm[/inlmath] a i kada kvadriram ne gubi se. Pitanje je kako? Da li se uopšte radi ovako kako sam ja radio?

Ako si sve radio prema Sinišinim uputstvima, treba da dobiješ [inlmath]y=-3\pm\left[\mbox{neki izraz po }x\right][/inlmath].

Da ne bude zabune – jednačina elipse čiji se centar nalazi u tački [inlmath]\left(p,q\right)[/inlmath] glasi
[dispmath]\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}=1[/dispmath]
Kada je centar elipse u koordinatnom početku, tada je [inlmath]p=q=0[/inlmath] i jednačina se svodi na onaj dobro poznati oblik,
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath]
U ovom zadatku, kô što Siniša reče, centar elipse treba da bude u tački [inlmath]\left(0,-3\right)[/inlmath]. Prema tome, koliko je [inlmath]p[/inlmath], koliko je [inlmath]q[/inlmath]? Kako glasi jednačina takve elipse?

Dobijem [inlmath]f(x)=-3\pm\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath]. Ponovo kada ovo kvadriram ostaje [inlmath]\pm[/inlmath]. Ne mogu ga nikako zaobići.
A što se tiče jednačine elipse [inlmath]C(0,-3)[/inlmath], [inlmath]p=0[/inlmath] i [inlmath]q=-3[/inlmath] a jednačina elipse je [inlmath]\frac{x^2}{2}+\frac{(y+3)^2}{3}=1[/inlmath].
Uopšte ne znam žašto me pitaš za ovu jednačinu od elipse. Ali ja ponovo ne vidim način da kod ove krive primjenim integral zapremine.

Aha, sad kontam šta je zapravo bilo tvoje pitanje. Tako je, dobije se [inlmath]f\left(x\right)=-3\pm\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath], tj. dve funkcije, [inlmath]f_1\left(x\right)=-3-\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath] i [inlmath]f_2\left(x\right)=-3+\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath]. To je zbog toga što kod elipse ne možeš [inlmath]y[/inlmath] predstaviti kao jednoznačnu funkciju od [inlmath]x[/inlmath].
Rotacijom ove elipse oko [inlmath]x[/inlmath]-ose dobijaš neko telo torusnog oblika (nacrtaj skicu), a presek tog torusa je upravo ta elipsa.
Sa skice ćeš uočiti da zapreminu tog torusnog tela dobiješ kad od zapremine tela dobijenog rotacijom [inlmath]f_1\left(x\right)=-3-\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath] oduzmeš zapreminu tela dobijenog rotacijom [inlmath]f_2\left(x\right)=-3+\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath].

Dobro, vidim sada da može Ali ponovo ne vidim nikakvu korist od te translacije.

Pretpostavljam da onda znaš i za neki način bez translacije? Bi li bio ljubazan da nam to pokažeš?

Biću ljubazan Ali rješenje se svodi na isto samo je malo drugačije polazno tumačenje.
Iz prvobitne jednačine elipse [inlmath]\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1[/inlmath] izrazimo [inlmath]y=\pm\frac{\sqrt6\sqrt{2-x^2}}{2}[/inlmath]
I sa skice možemo da zaključimo da ćemo zapreminu izračunati kada oduzmemo vrijednosti funkcije of [inlmath]3[/inlmath]. Dalje je sve isto ide se preko dva integrala...

pa ako oduzmes [inlmath]3[/inlmath] to znaci da si izvrsio pomjeranje centra elipse za [inlmath]3[/inlmath]... zar je ovo toliko komplikovano?

Gamma je napisao:Ali ponovo ne vidim nikakvu korist od te translacije.

i tvoj nacin se svodi na translaciju, samo sto ti ne znas sta to predstavlja...

Sinisa je napisao:pa ako oduzmes [inlmath]3[/inlmath] to znaci da si izvrsio pomjeranje centra elipse za [inlmath]3[/inlmath]

A gdje piše da oduzimam [inlmath]3[/inlmath]? Oduzimam vrijednost funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] od [inlmath]3[/inlmath] znači [inlmath]3-f(x)[/inlmath] I nikakav centar elipse ne pomjeram. To tebi izgleda kao translacija.

Sinisa je napisao:i tvoj nacin se svodi na translaciju, samo sto ti ne znas sta to predstavlja...

Evo to ćeš mi ti objasniti isto kao onaj red i niz...

pitao bih te da mi objasnis kako ta skica izgleda s obzirom na to da ces zapreminu dobiti tako sto od [inlmath]3[/inlmath] oduzmes [inlmath]f(x)[/inlmath]... ali vjerovatno ni sam ne znas sta radis, isti slucaj kao i onaj zadatak za djecu mislim da bi trebao jos jednom pogledati tu svoju skicu...

Može ali prvo ti meni moraš objasniti ovo prethodno
Na kraju dobije se isto samo kod ove tvoje translacije izvučeš [inlmath]-[/inlmath] ispred zagrade a jer u integralu zapremine figuriše [inlmath]f^2(x)[/inlmath] dobićeš isto.

ova donja elipsa je elipsa o kojoj sam ja govorio, a ova gornja je elipsa o kojoj ti govoris... OBIJE SE DOBIJU TRANSLACIJOM!

moj savjet ti je da naucis sta je translacija kako bi izbjegao situacije u kojima ispadas glup...

Gamma je napisao:Evo to ćeš mi ti objasniti isto kao onaj red i niz...

ja dajem sve od sebe da ti objasnim, ali ti nisi u mogucnosti da shvatis to sto ti objasnjavam

Skica ti je baš extra sve se dobro vidi Ponavljam centar moje elipse se nalazi u kordinatnom početku a prava je [inlmath]y=3[/inlmath]. Sve stoji na mjestu kao što je na početku zadatka. Probaj zamisliti da se elipsa rotira oko ove prave. A ne oko [inlmath]x[/inlmath] ose tj. prave [inlmath]y=0[/inlmath]

[inlmath]f(x)[/inlmath] - centar te elipse se nalazi u koordinatnom pocetku
[inlmath]g(x)=3-f(x)[/inlmath] - centar ove elipse se ne nalazi u koordinatnom pocetku

kada nadjes [inlmath]g(x)[/inlmath] ti tu elipsu rotiras oko [inlmath]x[/inlmath] ose, a [inlmath]g(x)[/inlmath] dobijas translacijom [inlmath]f(x)[/inlmath]

ti translacijom svodis na to da se rotacija vrsi oko [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] ose, to je jedini nacin da se rijese ovakvi zadaci... tu translaciju mozes izvrsiti na vise nacina - rezultat je isti...

Gamma je napisao:A gdje piše da oduzimam [inlmath]3[/inlmath]? Oduzimam vrijednost funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] od [inlmath]3[/inlmath] znači [inlmath]3-f(x)[/inlmath] I nikakav centar elipse ne pomjeram. To tebi izgleda kao translacija.

To jeste translacija. Stavljanjem znaka minus ispred [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] ti zapravo invertuješ tu funkciju, a zatim, dodavanjem trojke na vrednost te invertovane funkcije, transliraš celu tu invertovanu funkciju za [inlmath]3[/inlmath] prema gore.

BTW ako posmatramo rotaciju oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, invertovanjem funkcije se ništa ne menja, budući da ta kriva, prilikom rotacije oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, dvaput prolazi kroz [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan – jednom u svom osnovnom i jednom u svom invertovanom obliku. Dakle, da l' ćeš napisati [inlmath]3-f\left(x\right)[/inlmath] ili [inlmath]f\left(x\right)-3[/inlmath] – isti đavo.