MATEMANIJA

Odredite površinu lika omeđenog parabolama [inlmath]3y^2=25x[/inlmath] i [inlmath]5x^2=9y[/inlmath].

Ovdje se radi o dvostrukom integralu.
Ako sam dobro nacrtao, dobijemo nekakav lik u prvom kvadrantu. Kako doći do granica integrala?

granice su tacke presjeka tih parabola

A te tačke preseka su kol'ko ja vidim [inlmath](0,0)[/inlmath] i [inlmath](3,5)[/inlmath].
Ali to su granice po [inlmath]x[/inlmath].
A po [inlmath]y[/inlmath] ide od donje do gornje parabole.
Sada samo napiši sve ovo .
Ako želiš.

Moze li ovako?
[dispmath]P=\int\limits_0^3\left({5\over\sqrt3}\sqrt x-{5\over9}x^2\right)\mathrm dx[/dispmath]

Ovako
[dispmath]P=\int\limits_0^3\mathrm dx\int\limits_{\Large\frac{5x^2}{9}}^{\Large\frac{5\sqrt{x}}{3}}\mathrm dy[/dispmath]
Konačno dobio [inlmath]P=\frac{10\sqrt3}{3}-5[/inlmath]

To je izgleda isto, samo proveri gornju granicu po [inlmath]y[/inlmath].

@bobanex, @eseper,
sasvim tako, obojica ste postavili granice. Štaviše, iz vaša dva posta, kada se uporede, vidi se i svođenje dvojnog integrala na jednostruki.
Thanks obojici, samo da proverim eseperov rezultat (ovo u vezi s korenom iz tri itd.) pa postujem.

Po mom misljenju resenje je [inlmath]10-5[/inlmath]

@bobanex, u pravu si, ja sam pogrešio, kao i @eseper. Evo ovako:
[dispmath]P=\int\limits_0^3\mathrm dx\int\limits_{\Large\frac{5x^2}{9}}^{\Large\frac{5\sqrt{x}}{\sqrt3}}\mathrm dy[/dispmath]
Posle svođenja dobije se bobanexov integral:
[dispmath]P=\int\limits_0^3\left({5\over\sqrt3}\sqrt x-{5\over9}x^2\right)\mathrm dx[/dispmath]

I dobih tačno [inlmath]5[/inlmath].
Bravo bobanex

Potvrđujem i ja rešenje [inlmath]5[/inlmath]. Samo, ne vidim nikakvog razloga za korišćenjem dvostrukih integrala kad imamo površinu omeđenu krivama u jednoj ravni.

Daniel,
možda je zahtevan baš dvostruki integral, (kao što nekad ne dozvoljavaju proširenu definiciju binomnog koeficijenta u ovoj temi), možda sada i ovde baš zahtevaju dvostruki integral.
A kada smo već kod toga, da li biste lakše dokazali da je površina elipse s poluosama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] jednaka [inlmath]ab\pi[/inlmath] preko jednostrukog ili dvostrukog integrala (u jednom koraku, preko analitičke geometrije, centriranjem elipse u koordinatni početak)?

desideri je napisao:možda je zahtevan baš dvostruki integral, (kao što nekad ne dozvoljavaju proširenu definiciju binomnog koeficijenta u ovoj temi), možda sada i ovde baš zahtevaju dvostruki integral.

To stoji.

desideri je napisao:A kada smo već kod toga, da li biste lakše dokazali da je površina elipse s poluosama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] jednaka [inlmath]ab\pi[/inlmath] preko jednostrukog ili dvostrukog integrala (u jednom koraku, preko analitičke geometrije, centriranjem elipse u koordinatni početak)?

Ja uvek glasam za jednostruke integrale, kad god je to moguće. Čak bih u ovom slučaju, zbog simetrije, računao površinu dela elipse samo u prvom kvadrantu, pa to zatim pomnožio sa [inlmath]4[/inlmath]...

Daniel je napisao:Ja uvek glasam za jednostruke integrale, kad god je to moguće. Čak bih u ovom slučaju, zbog simetrije, računao površinu dela elipse samo u prvom kvadrantu, pa to zatim pomnožio sa [inlmath]4[/inlmath]...

Sasvim tako. No to je možda pre stvar ukusa.
Ja bih uveo uopštene polarne smene tj
[dispmath]x=ar\cos\varphi\quad y=br\sin\varphi\quad\mathrm dx\mathrm dy=abr\mathrm dr\mathrm d\varphi[/dispmath][dispmath]P=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_0^1abr\mathrm{d}r=ab\pi[/dispmath]
Ovo je bilo jako brzo.

U ovom zadatku se zahtjevao dvostruki integral, zaboravio sam napomenuti