MATEMANIJA

[dispmath]\int\frac{\sin x+\sin^3x}{\cos2x}\mathrm dx[/dispmath]
izgledao mi je jednostavan ali kada sam pokusao da izracunam ovaj integral shvatio sam da je dosta komplikovaniji od onih iz srednje skole

U brojiocu izvuci [inlmath]\sin x[/inlmath] izvan zagrade, a zatim [inlmath]\sin x\mathrm dx[/inlmath] napiši kao [inlmath]-\mathrm d\left(\cos x\right)[/inlmath].
Sve ovo ostalo izrazi preko [inlmath]\cos x[/inlmath], a zatim uvedi smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath].

uspio sam!

mi u srednjoj skoli nismo ovo ucili, mozes li mi objasniti sta si ovde uradio? zanima me transformacija [inlmath]\sin x\mathrm dx[/inlmath] u [inlmath]-\mathrm d(\cos x)[/inlmath], mozes li mi to objasniti? (teoretski, zbog cega se to moze raditi i sta u stvari to predstavlja...)

Cilj je sve izraziti preko samo jedne trigonometrijske funkcije (u ovom slučaju videćemo da je to [inlmath]\cos x[/inlmath]), kako bi se na kraju za tu trigonometrijsku funkciju mogla uvesti smena [inlmath]t[/inlmath].

Gledaš koja je to funkcija preko koje se može sve izraziti. [inlmath]\cos2x[/inlmath] u imeniocu može se izraziti bilo preko [inlmath]\sin x[/inlmath], bilo preko [inlmath]\cos x[/inlmath]. Gledamo onda ovo ostalo. U brojiocu odmah uočavamo, ako izvučemo [inlmath]\sin x[/inlmath], da će u onome što ostane unutar zagrade figurisati [inlmath]\sin^2x[/inlmath], a to se može, po potrebi, lako izraziti i preko [inlmath]\cos x[/inlmath]. Ali, potrebno je da nam se ta trigonometrijska funkcija preko koje sve izražavamo, nađe i pod diferencijalom. Zato posmatramo taj [inlmath]\sin x[/inlmath] koji smo izvukli ispred zagrade i diferencijal [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Kako možemo [inlmath]\sin x\mathrm dx[/inlmath] izraziti preko novog diferencijala? Pa tako što nađemo čemu je jednak integral [inlmath]\int\sin x\mathrm dx[/inlmath], a on je, kao što znamo, jednak [inlmath]-\cos x[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\sin x\mathrm dx[/inlmath] (bez integrala) biće jednak [inlmath]\mathrm d\left(-\cos x\right)[/inlmath], tj. kad minus izađe ispred, [inlmath]-\mathrm d\left(\cos x\right)[/inlmath].

E, pošto smo pod diferencijalom dobili [inlmath]\cos x[/inlmath], onda moramo, kako bismo uveli smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath], sve druge trigonometrijske funkcije da izrazimo preko [inlmath]\cos x[/inlmath]. I kad smo to uradili, postigli smo ono što je i bio cilj, a to je da možemo uvesti smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath].

Samo da napomenem da se diferencijal ne radi u skoli, bar ga kod mene nisu radili, vec je profesorka kod parcijalne samo mehanicki pokazala ucenicima da rade. Pretpostavljam da je tako i u drugim skolama.

Ovde i nije potrebno nikakvo bogzna kakvo poznavanje diferencijala. Sve što je potrebno znati, bez ulaženja u samu suštinu diferencijala, to je da je [inlmath]f'\left(x\right)=\frac{\mathrm d\big(f\left(x\right)\big)}{\mathrm dx}[/inlmath], tj. da je [inlmath]\mathrm d\big(f\left(x\right)\big)=f'\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath].

[inlmath]\mathrm d\big(f\left(x\right)\big)=f'\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath]

- mi ovo nismo pominjali u skoli, ali sada mi je jasno koristeci ovo "svojstvo" je mnogo jednostavnije uocavati smjene