MATEMANIJA

Muci me jedan nadasve lak integral, za cije resavanje je potrebno koristiti metod smene.
[dispmath]I=\int\frac{e^{-3x}}{\sqrt{5-2e^{-6x}}}\mathrm dx[/dispmath]
Nakon sredjivanja imenioca, uveo sam smenu [inlmath]\begin{vmatrix}\sqrt{\frac{2}{5}}e^{-3x}=t\\ e^{-3x}\mathrm dx=-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{5}{2}}\mathrm dt\end{vmatrix}[/inlmath], i kad se sve to sredi, integral se svede na tablicni:
[dispmath]I=-\frac{1}{3\sqrt2}\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\frac{1}{3\sqrt2}\cdot\arcsin{t}+c[/dispmath]
odnosno kad se vrati smena:
[dispmath]I=\int\frac{e^{-3x}}{\sqrt{5-2e^{-6x}}}\mathrm dx=\enclose{box}{-\frac{1}{3\sqrt2}\cdot\arcsin\left(\!\sqrt{\frac{2}{5}}e^{-3x}\!\right)+c}[/dispmath]
E sad, problem je u tome mi Wolfram izbacuje resenje koje je , a posto "ne stojim" bas najbolje sa arkus funkcijama, treba mi samo potvrda da li je moj postupak, tj. resenje dobro.



[dispmath]\int\frac{\displaystyle e^{-3x}}{\displaystyle\sqrt{5-2e^{-6x}}}\:\mathrm dx=\frac{\displaystyle e^{-3x}\sqrt{5e^{6x}-2}\:\text{tg}^{-1}\left(\sqrt{\frac{5e^{6x}}{2}-1}\right)}{\displaystyle3\sqrt{10-4e^{-6x}}}{\color{grey}\:+\:\text{constant}}[/dispmath]

Tvoj odgovor je tacan. Jednostavno, nadji njegov izvod (mozes i by Wolfram, da se ne mucis), i dobices svoju podintegralnu funkciju.

Moguće je pokazati da su Ilijin i Wolframov rezultat identični (tj. kad ne bi bilo konstante integracije razlikovali bi se za [inlmath]\frac{\pi}{6\sqrt2}[/inlmath]):
[dispmath]\frac{\displaystyle e^{-3x}\sqrt{5e^{6x}-2}\:\text{tg}^{-1}\left(\sqrt{\frac{5e^{6x}}{2}-1}\right)}{\displaystyle3\sqrt{10-4e^{-6x}}}=\frac{\displaystyle \cancel{\sqrt{5-2e^{-6x}}}\:\text{tg}^{-1}\left(\sqrt{\frac{5e^{6x}}{2}-1}\right)}{\displaystyle3\sqrt2\cancel{\sqrt{5-2e^{-6x}}}}=\frac{1}{3\sqrt2}\:\text{tg}^{-1}\left(\sqrt{\frac{5e^{6x}}{2}-1}\right)=[/dispmath]
Budući da je [inlmath]\text{arctg}\:x=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/inlmath] (što se lako izvodi posmatrajući pravougli trougao), ovo se može dalje pisati:
[dispmath]=\frac{1}{3\sqrt2}\arcsin\frac{\displaystyle\sqrt{\frac{5e^{6x}}{2}-1}}{\displaystyle\sqrt{\cancel1+\frac{5e^{6x}}{2}-\cancel1}}=\frac{1}{3\sqrt2}\arcsin\sqrt{1-\frac{2}{5}e^{-6x}}=[/dispmath]
Pošto za [inlmath]x\ge0[/inlmath] važi [inlmath]\arcsin\sqrt{1-x^2}=\frac{\pi}{2}-\arcsin x[/inlmath] (takođe se može pokazati iz pravouglog trougla – ako je potrebno, mogu izvesti i ovaj i prethodni identitet), izraz se svodi na
[dispmath]=\frac{1}{3\sqrt2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\sqrt{\frac{2}{5}e^{-6x}}\right)=\frac{\pi}{6\sqrt2}-\frac{1}{3\sqrt2}\arcsin\sqrt{\frac{2}{5}e^{-6x}}=-\frac{1}{3\sqrt2}\arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{5}}e^{-3x}\right)+c[/dispmath]

---

E sad, na koji način je (pretpostavljam) Wolfram ovo računao:
[dispmath]I=\int\frac{e^{-3x}}{\sqrt{5-2e^{-6x}}}\mathrm dx=\int\frac{\cancel{e^{-3x}}}{\cancel{e^{-3x}}\sqrt{5e^{6x}-2}}\mathrm dx=[/dispmath]
Smena:
[inlmath]\displaystyle\sqrt{5e^{6x}-2}=t\\
5e^{6x}=t^2+2\\
\displaystyle\frac{5\cdot6e^{6x}}{2\sqrt{5e^{6x}-2}}\mathrm dx=\mathrm dt\;\Rightarrow\;\frac{3\left(t^2+2\right)}{t}\mathrm dx=\mathrm dt\;\Rightarrow\;\mathrm dx=\frac{t\:\mathrm dt}{3\left(t^2+2\right)}[/inlmath]
[dispmath]=\int\frac{1}{\cancel t}\cdot\frac{\cancel t\:\mathrm dt}{3\left(t^2+2\right)}=\frac{1}{6}\int\frac{\mathrm dt}{\left(\frac{t}{\sqrt2}\right)^2+1}=[/dispmath]
Smena:
[inlmath]\frac{t}{\sqrt2}=u\\
\mathrm dt=\sqrt2\:\mathrm du[/inlmath]
[dispmath]=\frac{\sqrt2}{6}\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}=\frac{\sqrt2}{6}\:\text{arctg}\:u+c=\frac{\sqrt2}{6}\:\text{arctg}\:\frac{t}{\sqrt2}+c=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt2}{6}\:\text{arctg}\:\frac{\sqrt{5e^{6x}-2}}{\sqrt2}+c=\frac{\sqrt2}{6}\:\text{arctg}\:\sqrt{\frac{5e^{6x}}{2}-1}+c[/dispmath]
I, kad bi se sad i brojilac i imenilac pomnožili sa [inlmath]\sqrt{5-2e^{-6x}}[/inlmath], dobio bi se Wolframov rezultat.
E sad, zbog čega je Wolfram množio brojilac i imenilac tim izrazom, ne pitaj me, ne znam ni ja...
Možda zbog toga da bi se videlo da rezultat nije definisan za [inlmath]5-2e^{-6x}<0[/inlmath], ali to se ionako vidi na osnovu korena unutar argumenta arkus tangensa...
U svakom slučaju, to je način kako da se rezultat izrazi preko arkus tangensa (kao što je to učinio Wolfram), umesto preko arkus sinusa...