MATEMANIJA

[dispmath]\begin{array}{ll}
532.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[4]{x^3}\left(1+\sqrt[4]x\right)} & 533.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{e^x+1}}\\
534.\;\int\frac{e^{2x}}{e^x-1}\mathrm dx & 535.\;\int x^2\left(x-1\right)^{18}\mathrm dx\\
537.\;\int\frac{x}{1+x^4}\mathrm dx & 538.\;\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\mathrm dx\\
540.\;\int\frac{\ln x}{x\left(4+\ln^2 x\right)}\mathrm dx\qquad & 539.\;\int\frac{\mathrm{ctg}\:x}{\ln\sin x}\mathrm dx
\end{array}[/dispmath]
svaka pomoć oko ovakvog rješavanja integrala dobro bi mi došla

P.S. ispričavam se na velikom broju zadataka, nisam znao kako drugačije izrezati zadatke

Evo jedan, ovaj zadnji.

slavonija035 je napisao:[dispmath]540.\;\int\frac{\ln x}{x\left(4+\ln^2 x\right)}\mathrm dx[/dispmath]

Smena [inlmath]\ln x=t[/inlmath]
Pa dobijaš:
[inlmath]\frac{1}{x}\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
Dalje se integral svede na:
[dispmath]\int\frac{t}{4+t^2}\mathrm dt[/dispmath]
Smenom: [inlmath]4+t^2=m,\;2t\mathrm dt=\mathrm dm[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dm}{m}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}\ln m+C=\frac{1}{2}\ln\left(4+t^2\right)+C=\frac{1}{2}\ln\left(\ln^2x+4\right)+C[/dispmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]539.\;\int\frac{\mathrm{ctg}\:x}{\ln\sin x}\mathrm dx[/dispmath]

[dispmath]I=\int\frac{\mathrm{ctg}\:x}{\ln(\sin x)}[/dispmath]
Smenom [inlmath]\sin x=t[/inlmath]:
[inlmath]\cos x\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]

Kako je [inlmath]\mathrm{ctg}\:x=\frac{\cos x}{\sin x}[/inlmath]:
[dispmath]I=\int\frac{\cos x}{\sin x\ln(\sin x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dt}{t\ln t}[/dispmath]
Smenom:
[inlmath]m=\ln t\\
\mathrm dm=\frac{1}{t}\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]I=\int\frac{\mathrm dm}{m}=\ln m+C=\ln mC=\ln (C\ln{t})=\ln\Big(C\big(\ln(\sin x)\big)\Big)[/dispmath]

Za preostale ću ti samo dati adekvatne smene:

slavonija035 je napisao:[dispmath]538.\;\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]x^3=t[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]537.\;\int\frac{x}{1+x^4}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]x^2=t[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]535.\;\int x^2\left(x-1\right)^{18}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]t=x-1[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]534.\;\int\frac{e^{2x}}{e^x-1}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]e^x-1=t[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]533.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{e^x+1}}[/dispmath]

[inlmath]t=\sqrt{e^x+1}[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]532.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[4]{x^3}\left(1+\sqrt[4]x\right)}[/dispmath]

[inlmath]t=x^\frac{1}{4}[/inlmath]

Ako treba i celo rešenje za neki od ovih zadataka kaži.

možeš li riješiti 534. jer ne dobijem kako je napisano u rješenjima, tj. ja dobijem rješenje zadatka: [inlmath]e^x−1+\ln\left(e^x-1\right)+c[/inlmath].

a i 535. dobro bi mi došao

Tačno ti je rešenje, [inlmath]e^x-1+\ln\left|e^x-1\right|+c[/inlmath] i treba da se dobije. S tim, da možeš grupisati [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] i onda je [inlmath]\left(c-1\right)[/inlmath] neka nova konstanta, tako da rešenje, zapravo može da se napiše i bez tog [inlmath]-1[/inlmath]:[dispmath]e^x+\ln\left|e^x-1\right|+c[/dispmath]Jel' to piše i u rešenjima?

Sad ću d'uradim taj [inlmath]535.[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]535.\;\int x^2\left(x-1\right)^{18}\mathrm dx[/dispmath]

Smena:
[inlmath]x-1=t\\
x=t+1\\
\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=\int\left(t+1\right)^2t^{18}\mathrm dt=\int\left(t^2+2t+1\right)t^{18}\mathrm dt=\int\left(t^{20}+2t^{19}+t^{18}\right)\mathrm dt=\int t^{20}\mathrm dt+2\int t^{19}\mathrm dt+\int t^{18}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\frac{t^{21}}{21}+\frac{2t^{20}}{20}+\frac{t^{19}}{19}+c=\frac{\left(x-1\right)^{21}}{21}+\frac{2\left(x-1\right)^{20}}{20}+\frac{\left(x-1\right)^{19}}{19}+c[/dispmath]
Pa onda, ako želimo to još malo da sredimo, može:
[dispmath]\frac{\left(x-1\right)^{21}}{21}+\frac{2\left(x-1\right)^{20}}{20}+\frac{\left(x-1\right)^{19}}{19}+c=\left(x-1\right)^{19}\frac{\left(x-1\right)^2}{21}+\frac{2\left(x-1\right)}{20}+\frac{1}{19}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{20\cdot 19\left(x-1\right)^2+2\cdot 21\cdot 19\left(x-1\right)+21\cdot 20}{21\cdot 20\cdot 19}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380\left(x-1\right)^2+798\left(x-1\right)+420}{7980}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380\left(x^2-2x+1\right)+798\left(x-1\right)+420}{7980}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380x^2-760x+380+798x-798+420}{7980}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380x^2+38x+2}{7980}+c=\left(x-1\right)^{19}\frac{190x^2+19x+1}{3990}+c[/dispmath]
Ako treba i još neki, slobodno viči.

Daniel je napisao:Tačno ti je rešenje, [inlmath]e^x-1+\ln\left|e^x-1\right|+c[/inlmath] i treba da se dobije. S tim, da možeš grupisati [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] i onda je [inlmath]\left(c-1\right)[/inlmath] neka nova konstanta, tako da rešenje, zapravo može da se napiše i bez tog [inlmath]-1[/inlmath]:[dispmath]e^x+\ln\left|e^x-1\right|+c[/dispmath]Jel' to piše i u rešenjima?

da
hvala

Pozdrav, evo me opet s matematikom, tj. s integralom

Zanima me može li se sljedeći integral rješiti metodom zamjene varijabli:
[dispmath]\int\frac{x^2+5x-1}{\sqrt x}\mathrm dx[/dispmath]
Pokušao sam tako što sam uvrstio da je [inlmath]t=x[/inlmath], a [inlmath]\mathrm dt=\mathrm dx[/inlmath]... dobio sam nešto lijevo, a točno rješenje je
[dispmath]\frac{2}{15}\sqrt x\left(-15+25x+3x^2\right)+C[/dispmath]
Ili se ovakav tip može isključivo parcijalnom integracijom?

Welcome back

Pa [inlmath]t=x[/inlmath], [inlmath]\mathrm dt=\mathrm dx[/inlmath] ti nije nikakva smena... Tu si samo oznaku [inlmath]x[/inlmath] zamenio oznakom [inlmath]t[/inlmath] i, naravno, nisi time ništa postigao...

Ma jok, ne treba ti ovde ni zamena varijabli, ni parcijalna... Samo iskoristiš osobinu da je integral zbira jednak zbiru integrala i razložiš taj integral na tri integrala:
[dispmath]\int\frac{x^2+5x-1}{\sqrt x}\mathrm dx=\int\frac{x^2}{\sqrt x}\mathrm dx+5\int\frac{x}{\sqrt x}\mathrm dx-\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=[/dispmath][dispmath]=\int x^\frac{3}{2}\:\mathrm dx+5\int x^\frac{1}{2}\:\mathrm dx-\int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
i dalje rešavaš kao tablične integrale...