MATEMANIJA

[dispmath]\begin{array}{ll}
532.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[4]{x^3}\left(1+\sqrt[4]x\right)} & 533.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{e^x+1}}\\
534.\;\int\frac{e^{2x}}{e^x-1}\mathrm dx & 535.\;\int x^2\left(x-1\right)^{18}\mathrm dx\\
537.\;\int\frac{x}{1+x^4}\mathrm dx & 538.\;\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\mathrm dx\\
540.\;\int\frac{\ln x}{x\left(4+\ln^2 x\right)}\mathrm dx\qquad & 539.\;\int\frac{\mathrm{ctg}\:x}{\ln\sin x}\mathrm dx
\end{array}[/dispmath]
svaka pomoć oko ovakvog rješavanja integrala dobro bi mi došla

P.S. ispričavam se na velikom broju zadataka, nisam znao kako drugačije izrezati zadatke

Evo jedan, ovaj zadnji.

slavonija035 je napisao:[dispmath]540.\;\int\frac{\ln x}{x\left(4+\ln^2 x\right)}\mathrm dx[/dispmath]

Smena [inlmath]\ln x=t[/inlmath]
Pa dobijaš:
[inlmath]\frac{1}{x}\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
Dalje se integral svede na:
[dispmath]\int\frac{t}{4+t^2}\mathrm dt[/dispmath]
Smenom: [inlmath]4+t^2=m,\;2t\mathrm dt=\mathrm dm[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dm}{m}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}\ln m+C=\frac{1}{2}\ln\left(4+t^2\right)+C=\frac{1}{2}\ln\left(\ln^2x+4\right)+C[/dispmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]539.\;\int\frac{\mathrm{ctg}\:x}{\ln\sin x}\mathrm dx[/dispmath]

[dispmath]I=\int\frac{\mathrm{ctg}\:x}{\ln(\sin x)}[/dispmath]
Smenom [inlmath]\sin x=t[/inlmath]:
[inlmath]\cos x\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]

Kako je [inlmath]\mathrm{ctg}\:x=\frac{\cos x}{\sin x}[/inlmath]:
[dispmath]I=\int\frac{\cos x}{\sin x\ln(\sin x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dt}{t\ln t}[/dispmath]
Smenom:
[inlmath]m=\ln t\\
\mathrm dm=\frac{1}{t}\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]I=\int\frac{\mathrm dm}{m}=\ln m+C=\ln mC=\ln (C\ln{t})=\ln\Big(C\big(\ln(\sin x)\big)\Big)[/dispmath]

Za preostale ću ti samo dati adekvatne smene:

slavonija035 je napisao:[dispmath]538.\;\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]x^3=t[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]537.\;\int\frac{x}{1+x^4}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]x^2=t[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]535.\;\int x^2\left(x-1\right)^{18}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]t=x-1[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]534.\;\int\frac{e^{2x}}{e^x-1}\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]e^x-1=t[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]533.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{e^x+1}}[/dispmath]

[inlmath]t=\sqrt{e^x+1}[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]532.\;\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[4]{x^3}\left(1+\sqrt[4]x\right)}[/dispmath]

[inlmath]t=x^\frac{1}{4}[/inlmath]

Ako treba i celo rešenje za neki od ovih zadataka kaži.

možeš li riješiti 534. jer ne dobijem kako je napisano u rješenjima, tj. ja dobijem rješenje zadatka: [inlmath]e^x−1+\ln\left(e^x-1\right)+c[/inlmath].

a i 535. dobro bi mi došao

Tačno ti je rešenje, [inlmath]e^x-1+\ln\left|e^x-1\right|+c[/inlmath] i treba da se dobije. S tim, da možeš grupisati [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] i onda je [inlmath]\left(c-1\right)[/inlmath] neka nova konstanta, tako da rešenje, zapravo može da se napiše i bez tog [inlmath]-1[/inlmath]:[dispmath]e^x+\ln\left|e^x-1\right|+c[/dispmath]Jel' to piše i u rešenjima?

Sad ću d'uradim taj [inlmath]535.[/inlmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]535.\;\int x^2\left(x-1\right)^{18}\mathrm dx[/dispmath]

Smena:
[inlmath]x-1=t\\
x=t+1\\
\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=\int\left(t+1\right)^2t^{18}\mathrm dt=\int\left(t^2+2t+1\right)t^{18}\mathrm dt=\int\left(t^{20}+2t^{19}+t^{18}\right)\mathrm dt=\int t^{20}\mathrm dt+2\int t^{19}\mathrm dt+\int t^{18}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\frac{t^{21}}{21}+\frac{2t^{20}}{20}+\frac{t^{19}}{19}+c=\frac{\left(x-1\right)^{21}}{21}+\frac{2\left(x-1\right)^{20}}{20}+\frac{\left(x-1\right)^{19}}{19}+c[/dispmath]
Pa onda, ako želimo to još malo da sredimo, može:
[dispmath]\frac{\left(x-1\right)^{21}}{21}+\frac{2\left(x-1\right)^{20}}{20}+\frac{\left(x-1\right)^{19}}{19}+c=\left(x-1\right)^{19}\frac{\left(x-1\right)^2}{21}+\frac{2\left(x-1\right)}{20}+\frac{1}{19}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{20\cdot 19\left(x-1\right)^2+2\cdot 21\cdot 19\left(x-1\right)+21\cdot 20}{21\cdot 20\cdot 19}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380\left(x-1\right)^2+798\left(x-1\right)+420}{7980}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380\left(x^2-2x+1\right)+798\left(x-1\right)+420}{7980}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380x^2-760x+380+798x-798+420}{7980}+c=[/dispmath][dispmath]=\left(x-1\right)^{19}\frac{380x^2+38x+2}{7980}+c=\left(x-1\right)^{19}\frac{190x^2+19x+1}{3990}+c[/dispmath]
Ako treba i još neki, slobodno viči.

Daniel je napisao:Tačno ti je rešenje, [inlmath]e^x-1+\ln\left|e^x-1\right|+c[/inlmath] i treba da se dobije. S tim, da možeš grupisati [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] i onda je [inlmath]\left(c-1\right)[/inlmath] neka nova konstanta, tako da rešenje, zapravo može da se napiše i bez tog [inlmath]-1[/inlmath]:[dispmath]e^x+\ln\left|e^x-1\right|+c[/dispmath]Jel' to piše i u rešenjima?

da
hvala

Pozdrav, evo me opet s matematikom, tj. s integralom

Zanima me može li se sljedeći integral rješiti metodom zamjene varijabli:
[dispmath]\int\frac{x^2+5x-1}{\sqrt x}\mathrm dx[/dispmath]
Pokušao sam tako što sam uvrstio da je [inlmath]t=x[/inlmath], a [inlmath]\mathrm dt=\mathrm dx[/inlmath]... dobio sam nešto lijevo, a točno rješenje je
[dispmath]\frac{2}{15}\sqrt x\left(-15+25x+3x^2\right)+C[/dispmath]
Ili se ovakav tip može isključivo parcijalnom integracijom?

Welcome back

Pa [inlmath]t=x[/inlmath], [inlmath]\mathrm dt=\mathrm dx[/inlmath] ti nije nikakva smena... Tu si samo oznaku [inlmath]x[/inlmath] zamenio oznakom [inlmath]t[/inlmath] i, naravno, nisi time ništa postigao...

Ma jok, ne treba ti ovde ni zamena varijabli, ni parcijalna... Samo iskoristiš osobinu da je integral zbira jednak zbiru integrala i razložiš taj integral na tri integrala:
[dispmath]\int\frac{x^2+5x-1}{\sqrt x}\mathrm dx=\int\frac{x^2}{\sqrt x}\mathrm dx+5\int\frac{x}{\sqrt x}\mathrm dx-\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=[/dispmath][dispmath]=\int x^\frac{3}{2}\:\mathrm dx+5\int x^\frac{1}{2}\:\mathrm dx-\int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
i dalje rešavaš kao tablične integrale...

Hvala, ovaj put sam tu sve do 9. mjeseca jer premam isto ono gradivo za ispit... Tako da puno ćemo se družit, više nego ikad

Ok, to sam shvatio. Rješenje su zakomplicirali, zadatak je jednostavan.

Ali, sada sljedeće
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}[/dispmath]
Ovdje se ne može bez supstitucije. Zanima me zbog čega se u nazivniku treba izvuči [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath], pa tek tada uvoditi supstituciju, a ne odmah [inlmath]t=2-x^2[/inlmath]

Da nije možda zato što nam je cilj svesti na tablični integral ili postoji neki drugi razlog?

eseper je napisao:Zanima me zbog čega se u nazivniku treba izvuči [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath], pa tek tada uvoditi supstituciju, a ne odmah [inlmath]t=2-x^2[/inlmath]

Sam ćeš si dati odgovor ako lepo uvedeš tu smenu, [inlmath]t=2-x^2[/inlmath] pa kad vidiš dokle će te to odvesti.
U stvari, evo:
[inlmath]t=2-x^2\\
x^2=2-t\\
x=\sqrt{2-t}\\
\mathrm dx=\frac{-\mathrm dt}{2\sqrt{2-t}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\frac{-\mathrm dt}{2\sqrt{2-t}}}{\sqrt t}=-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t\left(2-t\right)}}[/dispmath]
Ne bismo mnogo bolje prošli ni sa smenom [inlmath]t=\sqrt{2-x^2}[/inlmath]:
[inlmath]t=\sqrt{2-x^2}\\
t^2=2-x^2\\
x^2=2-t^2\\
x=\sqrt{2-t^2}\\
\mathrm dx=\frac{-2t\mathrm dt}{2\sqrt{2-t^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\frac{-2t\mathrm dt}{2\sqrt{2-t^2}}}{t}=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{2-t^2}}[/dispmath]

eseper je napisao:Da nije možda zato što nam je cilj svesti na tablični integral

E, upravo zato. Sam oblik ovog integrala nas nekako podseća na onaj tablični, [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c[/inlmath], samo ga treba malo srediti. Prvo treba da postignemo da nam slobodan član pod korenom bude [inlmath]1[/inlmath], a to postižemo upravo tako što ispred korena izvučemo [inlmath]\sqrt2[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}=\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}[/dispmath]
Pa onda smena
[inlmath]t=\frac{x}{\sqrt2}\\
x=\sqrt2t\\
\mathrm dx=\sqrt2\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{\cancel{\sqrt2}}\int\frac{\cancel{\sqrt2}\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t+c=\arcsin\frac{x\sqrt2}{2}+c[/dispmath]
a moglo je i bez smene:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=\frac{1}{\cancel{\sqrt2}}\int\frac{\cancel{\sqrt2}\mathrm d\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)+c=\arcsin\left(\frac{x\sqrt2}{2}\right)+c[/dispmath]

Hvala, ovakve tipove sam shvatio.

Evo još jednog:
[dispmath]\int\frac{4x^5}{\sqrt{1-x^4}}\mathrm dx[/dispmath]
Kako ovo riješiti metodom zamjene?

U nazivniku [inlmath]x^4[/inlmath] možemo napisati kao[inlmath]\left(x^2\right)^2[/inlmath] ali onda [inlmath]x^2[/inlmath] ne smije biti [inlmath]t[/inlmath] zbog brojnika jer nećemo dobiti ono što želimo. Vjerovatno postoji neki trik

Upravo treba [inlmath]x^2=t[/inlmath]:
[inlmath]x=\sqrt t\\
\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{2\sqrt t}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{4x^5}{\sqrt{1-x^4}}\mathrm dx=\int\frac{4t^2\cancel{\sqrt t}}{\sqrt{1-t^2}}\frac{\mathrm dt}{2\cancel{\sqrt t}}=2\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt=2\int\frac{t^2-1+1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=2\int\frac{t^2-1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt+2\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=-2\int\frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt+2\arcsin t=-2\int\sqrt{1-t^2}\mathrm dt+2\arcsin x^2=[/dispmath]
Smena:
[inlmath]t=\sin z\\
\mathrm dt=\cos z\mathrm dz[/inlmath]
[dispmath]=-2\int\sqrt{1-\sin^2z}\:\cos z\:\mathrm dz+2\arcsin x^2=[/dispmath][dispmath]=-2\int\cos^2z\:\mathrm dz+2\arcsin x^2=-\cancel2\int\frac{1+\cos2x}{\cancel2}\mathrm dz+2\arcsin x^2=[/dispmath][dispmath]=-\int\mathrm dz-\int\cos2z\:\mathrm dz+2\arcsin x^2=-z-\frac{1}{2}\int\cos2z\:\mathrm d\left(2z\right)+2\arcsin x^2=[/dispmath][dispmath]=-\arcsin t-\frac{1}{2}\sin2z+2\arcsin x^2+c=-\arcsin x^2-\frac{1}{2}\sin2z+2\arcsin x^2+c=[/dispmath][dispmath]=\arcsin x^2-\sin z\cos z+c=\arcsin x^2-\sin z\sqrt{1-\sin^2z}+c=[/dispmath][dispmath]=\arcsin x^2-t\sqrt{1-t^2}+c=\arcsin x^2-x^2\sqrt{1-x^4}+c[/dispmath]

P.S. Ne moraš [inlmath]x^5[/inlmath] pisati kao x^{5}, već samo x^5; ni kvadratni koren [inlmath]\sqrt{1-x^4}[/inlmath] ne moraš pisati \sqrt[]{1-x^{4}}, već samo \sqrt{1-x^4}. Nije nikakva greška, jedino što sebi nepotrebno komplikuješ kucanje...