MATEMANIJA

Pozdrav svima, potrebna mi je pomoc u razumevanju resavanja pojednih integrala koji se resavaju pomocu smena [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath] i [inlmath]t=\text{tg }\frac{x}{2}[/inlmath]. Ne mogu da pronadjem meni razumljivo objasnjenje kada se primenjuje prva, a kada druga smena.
Posmatrajuci primere poput:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{4-3\cos^2x+5\sin^2x}[/dispmath]
gde se primenjuje smena [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath],

i primere poput
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{3+5\cos x}[/dispmath]
gde se primenjuje smena [inlmath]t=\text{tg }\frac{x}{2}[/inlmath], zakljucio sam da uvodjenje smena zavisi od toga kog stepena su trigonometrijske funkcije (odnosno za funkcije prvog stepena najcesce ce funkcionisati smena [inlmath]t=\text{tg }\frac{x}{2}[/inlmath], dok za one viseg stepena primenjujemo [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath]). S obzirom da sam do ovog zakljucka dosao samo posmatrajuci nekolicinu primera, ne bih se na to oslanjao, vec bih zamolio nekoga ko zna, da mi objasni kako da proverim kada pocnem da resavam zadatak koju smenu da upotrebim.

Unapred zahvalan

Pozdrav, pre svega dobrodošlica & pohvale za ovako lepo postavljeno pitanje.
Ovi integrali spadaju u grupu integrala racionalnih funkcija po [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath].
Ako sa [inlmath]R\left(\alpha,\beta\right)[/inlmath] označimo neku racionalnu funkciju po promenljivama [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath], onda ove integrale možemo obeležiti kao integrale oblika [inlmath]R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath].
Oni se po pravilu rešavaju uvođenjem smene [inlmath]\text{tg }\frac{x}{2}=t[/inlmath], pri čemu je
[inlmath]\mathrm dx=\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt,\;\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/inlmath].

Međutim, izuzeci od ovog pravila su sledeće situacije:

• Ako važi [inlmath]R\left(-\sin x,\cos x\right)=-R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], tada uvodimo smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath];
• Ako važi [inlmath]R\left(\sin x,-\cos x\right)=-R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], tada uvodimo smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath];
• Ako važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], tada uvodimo smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath].

Ovaj poslednji slučaj, [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], važi onda kada unutar racionalne funkcije figurišu samo parni stepeni sinusa i parni stepeni kosinusa (tj. [inlmath]\sin^{2n}x[/inlmath] i [inlmath]\cos^{2n}x)[/inlmath], budući da je [inlmath]\left(-\sin x\right)^{2n}=\sin^{2n}x[/inlmath] i [inlmath]\left(-\cos x\right)^{2n}=\cos^{2n}x[/inlmath].
To je upravo slučaj u tvom prvom zadatku, u kojem imamo samo kvadrat sinusa i kvadrat kosinusa, tako da kod njega, shodno prethodno navedenim pravilima, uvodimo smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath].

Hvala na brzom odgovoru
Objasnjenje je jasno, ali i dalje mi se namece nekoliko podpitanja i nedoumica:

1.Vise kao provera onoga sto sam shvatio, da li u slucajevima uvodjenja smene zapravo imamo:

a) [inlmath]t=\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right)[/inlmath], neparan stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]
b) [inlmath]t=\sin(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath]
v) [inlmath]t=\cos(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]
g) [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i parni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]

2.Ako je moje shvatanje cele ove price sa smenom tacna, zbog cega se ovaj zadatak resava smenom [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath], kada se ocigledno javljauju i neprani stepeni:
[dispmath]\int\frac{\sin(x)\cdot\cos^2(x)}{\sin^3(x)+\cos^3(x)}\mathrm dx[/dispmath]
Jasno mi je da se pri resavanju ovog zadatka sa datom smenom delovi pod korenom skrate, te postizemo zeljeni rezultat svodjenja na integral racionalne funkcije, ali i dalje ne shvatam sta bi me navelo da uvedem upravo ovu smenu.

NikolaM je napisao:1.Vise kao provera onoga sto sam shvatio, da li u slucajevima uvodjenja smene zapravo imamo:

a) [inlmath]t=\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right)[/inlmath], neparan stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]

Zavisi od same podintegralne funkcije. Ako integral glasi npr. [inlmath]\displaystyle\int\frac{2+\cos^3x}{\cos^3x-\sin^5x}\mathrm dx[/inlmath] (sve neparni stepeni sinusa i kosinusa), tada nećemo dobiti nijedan od ona tri specijalna slučaja, te uvodimo smenu [inlmath]t=\text{tg }\frac{x}{2}[/inlmath].

Međutim, ako integral glasi npr. [inlmath]\displaystyle\int\frac{\sin x+\cos^3x}{\cos^3x-\sin^5x}\mathrm dx[/inlmath], tada vidimo, uvrštavanjem [inlmath]-\sin x[/inlmath] umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] i uvrštavanjem [inlmath]-\cos x[/inlmath] umesto [inlmath]\cos x[/inlmath], da će važiti [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], te uvodimo smenu [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath].

Takođe, za integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{\cos^3x}{1+\sin x}\mathrm dx[/inlmath] važiće [inlmath]R\left(\sin x,-\cos x\right)=-R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath] (drugi od tri specijalna slučaja), tako da tada uvodimo smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath].

U svim navedenim primerima imali smo sve neparne stepene sinusa i sve neparne stepene kosinusa, a ipak se uvode različite smene.

NikolaM je napisao:b) [inlmath]t=\sin(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath]

Ne, u tom slučaju će važiti [inlmath]R\left(\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], a to ne spada ni u jedan od tri specijalna slučaja.
Primer slučaja za koji bi se uvela smena [inlmath]\sin x=t[/inlmath] dao sam malopre.

NikolaM je napisao:v) [inlmath]t=\cos(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]

Slično objašnjenje kao i malopre.

NikolaM je napisao:g) [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i parni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]

Tako je.

NikolaM je napisao:2.Ako je moje shvatanje cele ove price sa smenom tacna, zbog cega se ovaj zadatak resava smenom [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath], kada se ocigledno javljauju i neprani stepeni:
[dispmath]\int\frac{\sin(x)\cdot\cos^2(x)}{\sin^3(x)+\cos^3(x)}\mathrm dx[/dispmath]

Ako umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-\sin x[/inlmath] i umesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-\cos x[/inlmath], videćeš da za podintegralnu funkciju važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], što spada u treći od nabrojana tri specijalna slučaja, zbog čega uvodimo smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath].
Dakle – ako unutar podintegralne funkcije svi sinusi i kosinusi imaju parne stepene, tada za podintegralnu funkciju važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], međutim, implikacija ne važi u obrnutom smeru – ako za podintegralnu funkciju važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], tada unutar podintegralne funkcije ne moraju nužno svi sinusi i svi kosinusi biti podignuti na paran stepen. Kontraprimer je upravo ovaj integral koji si naveo. Još jedan kontraprimer, u kojem smo imali sve neparne stepene sinusa i kosinusa, naveo sam na početku ovog posta.

NikolaM je napisao:ali i dalje ne shvatam sta bi me navelo da uvedem upravo ovu smenu.

Čak i bez poznavanja pomenutih pravila, ovde se nekako sâmo od sebe nameće (tj. prilično je vidljivo) da ćemo, ako i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]\cos^3x[/inlmath], dobiti
[dispmath]\int\frac{\text{tg }x}{\text{tg}^3x+1}\mathrm dx[/dispmath]
a onda je smena [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath] sasvim logičan izbor.

Hvala na jos preciznijem i detaljnijem objasnjenju. Zaista mi nije palo na pamet da je primer sa parnim stepenima zapravo samo jedan podslucaj primera u kojima uvodimo smenu [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath]. Sada je to u potpunosti jasno, a na kraju zakljucujem da je najsigurnija metoda da se odlucim koju smenu da uvedem zapravo da proverim koja od gore pomenutih jednakosti vazi, te ne bih trebao vise da imam problema sa ovim tipom integrala.

Kako bih se barem donekle oduzio za brzo i kvalitetno objasnjenje, postavicu u toku dana u ovu temu neke primere koji se rade upravo ovom smenom, sto ce mozda koristiti nekome ko ima potrebu da provezba ovaj tip integrala.

Jos jednom hvala

PRIMERI INTEGRALA OBJASNJENIH U OVOJ TEMI

[dispmath]1.\qquad\int\frac{\mathrm dx}{1+\sin^2(x)}[/dispmath]
[dispmath]2.\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)\cdot\sin^4(x)}[/dispmath]
[dispmath]3.\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\sin(x)}[/dispmath]
[dispmath]4.\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\cos(x)}[/dispmath]
[dispmath]5.\qquad\int\frac{\cos(x)\mathrm dx}{3+4\cos(x)}[/dispmath]
[dispmath]6.\qquad\int\frac{\bigl(1-\sin(x)+\cos(x)\bigr)\mathrm dx}{1-\cos(x)+\sin(x)}[/dispmath]
[dispmath]7.\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\cos^4(x)}[/dispmath]
[dispmath]8.\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)+2}[/dispmath]
[dispmath]9.\qquad\int\frac{\sin(x)\mathrm dx}{\bigl(\cos(x)+2\bigr)\bigl(\sin(x)+3\cos(x)+3\bigr)}[/dispmath]
[dispmath]10.\qquad\int\frac{\left(\sin^2(x)\cdot\cos(x)\right)\mathrm dx}{\cos(x)+\sin(x)}[/dispmath]

Resenja ce biti dodata.