MATEMANIJA

Na predavanjima profesorka rece da ovaj integral mozemo koristiti kao tablicni:
[dispmath]\int\frac{\text{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+c[/dispmath]
E sad zanima me kako se dolazi do ovog resenja (ne mora neko izvoditi do kraja, ali neke naznake bi dobrodosle)? Takodje, je l' ovo [inlmath]a[/inlmath] pod korenom predstavlja neki broj ili nesto drugo?

Za [inlmath]+[/inlmath] varijantu se moze koristiti smena [inlmath]x=a\,\text{sh }\!\:\! t[/inlmath], a za [inlmath]-[/inlmath] varijantu [inlmath]x=\displaystyle\frac{a}{\cos t}[/inlmath] (vise volim ovaj zapis, nego preko sekans funkcije). U tvom primeru [inlmath]a[/inlmath] predstavlja proizvoljan fiksiran realan broj (za koji je definisana podintegralna funkcija).

Ja nađoh izvod desne strane i dobih podintegralnu funkciju.
Zar to nije najjednostavniji dokaz?
p.s. Integral od mleka je krava, jer je izvod od krave mleko.
p.p.s. Integral od sira je mleko, jer je izvod od mleka sir.
p.p.p.s Dvostruki integral od sira je krava.

Onomatopeja je napisao:Za [inlmath]+[/inlmath] varijantu se moze koristiti smena [inlmath]x=a\,\text{sh }\!\:\! t[/inlmath], a za [inlmath]-[/inlmath] varijantu [inlmath]x=\displaystyle\frac{a}{\cos t}[/inlmath] (vise volim ovaj zapis, nego preko sekans funkcije).

Posto nismo radili hiperbolicke (hiperbolicne) funkcije, probacu samo ovu varijantu za [inlmath]-[/inlmath], jer mi je sekans funkcija ipak poznata, za razliku od hiperbolickog (hiperbolicnog) sinusa.

desideri je napisao:Ja nađoh izvod desne strane i dobih podintegralnu funkciju.
Zar to nije najjednostavniji dokaz?

Ilija je napisao:Posto nismo radili hiperbolicke (hiperbolicne) funkcije, ....., jer mi je sekans funkcija ipak poznata, ...

Onda mozes uraditi smenom [inlmath]x=a\,\text{tg }t[/inlmath].

Evo probacu ovu varijantu sa [inlmath]-[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\text{d}x}{\sqrt{x^2\ -a^2}}[/dispmath]
Ako uvedem smenu [inlmath]x=\displaystyle\frac{a}{\cos t}[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]\text{d}x=\displaystyle\frac{a}{\cos t}\text{tg }t\text{d}t[/inlmath].
Izvod je: [inlmath]\displaystyle\left(\frac{a}{\cos t}\right)'=\left(\displaystyle a(\cos t)^{-1}\right)'=\displaystyle a\sin t(\cos t)^{-2}=\displaystyle\frac{a\sin t}{\cos^2 t}=\displaystyle\frac{a}{\cos t}\text{tg }t[/inlmath].
Zamenom u pocetni integral dobija se:
[dispmath]\int\frac{\displaystyle\frac{a}{\cos t}\text{tg }t\text{d}t}{\sqrt{\displaystyle\frac{a^2}{\cos^2t}\ -a^2}}=\int\frac{\displaystyle\frac{a}{\cos t}\text{tg }t\text{d}t}{\sqrt{a^2\left(\displaystyle\frac{1}{\cos^2t}-1\right)}}=\int\frac{\displaystyle\frac{\cancel{a}}{\cos t}\cancel{\text{tg }t}\text{d}t}{\cancel{a\text{tg }t}}=\int\frac{\text{d}t}{\cos t}[/dispmath]
Prilikom sredjivanja korenu u podintegralnoj funkciji, koristio sam da je [inlmath]\displaystyle\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}-1}=\text{tg }t[/inlmath], iz formule [inlmath]\sec^2t=1+\text{tg}^2\;t[/inlmath].

I to je to, dalje ne znam...

p.s. Mogao bi neki moderator ovo da sredi, posto izgleda totalno nepregledno.

Postoji vise nacina da se ovaj integral resi
1. smena [inlmath]\sqrt{x^2+a^2}=t-x[/inlmath] Ovo je jedna od Ojlerovih smena ne znam koja (od 3) jos ih nismo radili na faksu ali to je stajalo kao resenje u Veneovoj zbirci.
2. [inlmath]x=a\cdot\text{tg}(x)[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\{\text{smena}\}=\int\frac{a}{\sqrt{a^2\text{tg}^2(t)+a^2}}\frac{\mathrm dt}{\cos^2(t)}=\int\frac{1}{\frac{1}{\cos(t)}}\frac{\mathrm dt}{\cos^2(t)}=[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dt}{\cos(t)}=\int\sec(t)\mathrm dt=\int\sec(t)\cdot\frac{\sec(t)+\text{tg}(t)}{\sec(t)+\text{tg}(t)}\mathrm dt=\\
=\left\{u=\sec(t)+\text{tg}(t),\;\mathrm du=\left(\sec^2(t)+\sec(t)\text{tg}(t)\right)\mathrm dt\right\}=[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\sec(t)+\text{tg}(t)|+C=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}\right|+C=\\
=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\ln|a|+C=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+K[/dispmath]
3. Sa hiperbolickim smenama inverz hiperbolickog sinusa je upravo ovaj logaritam koji dobijamo kao resenje ovog integrala, ali ja se nisam udubljivao u materiju, to tek za ispit kasnije .

Ilija je napisao:[dispmath]\cdots=\int\frac{\text{d}t}{\cos t}[/dispmath]
I to je to, dalje ne znam...

Pokazao bih još jedan način. Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos t[/inlmath],
[dispmath]=\int\frac{\cos t\mathrm dt}{\cos^2t}=\int\frac{\mathrm d\left(\sin t\right)}{1-\sin^2t}\;\overset{\sin t=u}{=\!=\!=\!=\!=}\;\int\frac{\mathrm du}{1-u^2}=\int\frac{\mathrm du}{\left(1+u\right)\left(1-u\right)}[/dispmath]
To zatim rastavimo na parcijalne razlomke, čime dobijamo
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm du}{1+u}+\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm du}{1-u}=\frac{1}{2}\ln\left|1+u\right|-\frac{1}{2}\ln\left|1-u\right|+c=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+c[/dispmath]
Vraćanjem smene [inlmath]u=\sin t[/inlmath],
[dispmath]=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}\right|+c[/dispmath]
Budući da [inlmath]\sin t\in\left[-1,1\right][/inlmath], ni brojilac ni imenilac ne mogu biti negativni, tako da se možemo osloboditi apsolutne vrednosti:
[dispmath]=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin t}{1-\sin t}+c[/dispmath]
Sada pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\left(1+\sin t\right)[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]=\frac{1}{2}\ln\frac{\left(1+\sin t\right)^2}{1-\sin^2t}+c=\frac{1}{2}\ln\frac{\left(1+\sin t\right)^2}{\cos^2t}+c=\ln\left|\frac{1+\sin t}{\cos t}\right|+c=\ln\left|\frac{1+\sqrt{1-\cos^2t}}{\cos t}\right|+c[/dispmath]
i, vraćanjem smene [inlmath]\cos t=\frac{a}{x}[/inlmath],
[dispmath]=\ln\left|\frac{1+\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}}{\frac{a}{x}}\right|+c=\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|+c=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{c-\ln\left|a\right|}_{\displaystyle c_1}[/dispmath]

Trougao je napisao:3. Sa hiperbolickim smenama inverz hiperbolickog sinusa je upravo ovaj logaritam koji dobijamo kao resenje ovog integrala, ali ja se nisam udubljivao u materiju, to tek za ispit kasnije .

Pokazaću i taj način. Hiperboličke funkcije su
[dispmath]\text{sh }x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\quad\text{ch }x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/dispmath]
Može se pokazati da važi
[dispmath]\text{sh}^2x+1=\text{ch}^2x,\quad\left(\text{sh }x\right)'=\text{ch }x,\quad\left(\text{ch }x\right)'=\text{sh }x[/dispmath]
I to je sve što treba znati o hiperboličkim funkcijama. Eto, @Ilija, nisu nikakav bauk.

Ali, čak i bez poznavanja hiperboličkih funkcija, za integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}}[/inlmath] možemo uvesti smenu [inlmath]\displaystyle x=a\frac{e^t-e^{-t}}{2}[/inlmath] (ovo je ekvivalentno smeni [inlmath]x=a\text{ sh }t[/inlmath]):
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=[/dispmath]
Smena
[inlmath]\displaystyle x=a\frac{e^t-e^{-t}}{2}\\
\displaystyle\mathrm dx=a\frac{e^t+e^{-t}}{2}\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=\int\frac{a\frac{\displaystyle e^t+e^{-t}}{2}\mathrm dt}{\displaystyle\sqrt{a^2\frac{\left(e^t-e^{-t}\right)^2}{4}+a^2}}=\int\frac{\cancel a\frac{\displaystyle e^t+e^{-t}}{\cancel2}\mathrm dt}{\displaystyle\frac{\cancel a}{\cancel2}\sqrt{\left(e^t-e^{-t}\right)^2+4}}=\int\frac{e^t+e^{-t}}{\sqrt{e^{2t}-2+e^{-2t}+4}}\mathrm dt=\\
=\int\frac{e^t+e^{-t}}{\sqrt{e^{2t}+2+e^{-2t}}}\mathrm dt=\int\frac{e^t+e^{-t}}{\sqrt{\left(e^t+e^{-t}\right)^2}}\mathrm dt=\int\frac{\cancel{e^t+e^{-t}}}{\cancel{e^t+e^{-t}}}\mathrm dt=\int\mathrm dt=t+c[/dispmath]
Vraćamo smenu, treba sad izraziti [inlmath]t[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath]:
[inlmath]\displaystyle x=a\frac{e^t-e^{-t}}{2}\\
\displaystyle\left.ae^t-ae^{-t}=2x\quad\right/\cdot e^t\\
\displaystyle a\left(e^t\right)^2-2xe^t-a=0\\
\displaystyle\left(e^t\right)_{1,2}=\frac{2x\pm\sqrt{4x^2+4a^2}}{2a}\\
\displaystyle\left(e^t\right)_{1,2}=\frac{x\pm\sqrt{x^2+a^2}}{a}\\
\displaystyle e^t>0\quad\Rightarrow\quad e^t=\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\\
\displaystyle t=\ln\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\\
\displaystyle t=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\ln a[/inlmath]
Prema tome, integral je jednak
[dispmath]\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\ln a+c[/dispmath]
to jest, uzimanjem da je [inlmath]-\ln a+c[/inlmath] neka nova konstanta [inlmath]c_1[/inlmath],
[dispmath]\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+c_1[/dispmath]
(Svejedno je da li pišemo [inlmath]\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+c_1[/inlmath] ili [inlmath]\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c_1[/inlmath], budući da izraz unutar zagrade nikad ne može biti negativan.)

Daniel je napisao:Hiperboličke funkcije su
[dispmath]\text{sh }x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\quad\text{ch }x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/dispmath]
Može se pokazati da važi
[dispmath]\text{sh}^2x+1=\text{ch}^2x,\quad\left(\text{sh }x\right)'=\text{ch }x,\quad\left(\text{ch }x\right)'=\text{sh }x[/dispmath]
I to je sve što treba znati o hiperboličkim funkcijama. Eto, @Ilija, nisu nikakav bauk.

Naravno da nisu bauk. Secam se cak da jednom procitah i da cela matematika nije bauk (Matematika nije bauk - znam da je bilo nesto s tim nazivom, ali ne znam sta ), a kamoli hiperbolicke funkcije.

Osim na ova dva nacina (koji su zapravo mali „trikovi“), integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x}[/inlmath] se moze resiti i algoritamski, smenom [inlmath]t=\text{tg }\!\:\!{\large\frac{x}{2}}[/inlmath] (dakle, osnovnom smenom za trigonometrijske integrale).