MATEMANIJA

[dispmath]\begin{array}{l}
554.\;\int\sqrt x\ln x\mathrm dx\\
557.\;\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx\\
558.\;\int x\:\mathrm{arctg}\:x\:\mathrm dx
\end{array}[/dispmath]
parcijalna integracija, pa ako netko bude imao vremena idućih dana neka riješi. nije hitno, ali želim znati kako postaviti uopće ove zadatke

slavonija035 je napisao:[dispmath]554.\;\int\sqrt x\ln x\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]u=\ln x\\
\mathrm du=\frac{\mathrm dx}{x}\\
\mathrm dv=\sqrt x\mathrm dx\\
v=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}[/inlmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\ln x-\frac{2}{3}\int x^\frac{3}{2}\frac{\mathrm dx}{x}=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\ln x-\frac{2}{3}\int x^\frac{1}{2}\mathrm dx=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\ln x-\frac{2}{3}\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\ln x-\frac{4}{9}x^\frac{3}{2}+c[/dispmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]557.\;\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]u=\cos\left(\ln x\right)\\
\mathrm du=-\sin\left(\ln x\right)\frac{\mathrm dx}{x}\\
\mathrm dv=\mathrm dx\\
v=x[/inlmath]
[dispmath]=x\cos\left(\ln x\right)+\int x\sin\left(\ln x\right)\frac{\mathrm dx}{x}=x\cos\left(\ln x\right)+\int\sin\left(\ln x\right)\mathrm dx=[/dispmath]
Integral [inlmath]\int\sin\left(\ln x\right)\mathrm dx[/inlmath]:
[inlmath]u=\sin\left(\ln x\right)\\
\mathrm du=\cos\left(\ln x\right)\frac{\mathrm dx}{x}\\
\mathrm dv=\mathrm dx\\
v=x[/inlmath]
[dispmath]=x\cos\left(\ln x\right)+x\sin\left(\ln x\right)-\int x\cos\left(\ln x\right)\frac{\mathrm dx}{x}=x\cos\left(\ln x\right)+x\sin\left(\ln x\right)-\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx=[/dispmath]
Dakle,
[dispmath]\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx=x\cos\left(\ln x\right)+x\sin\left(\ln x\right)-\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]2\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx=x\cos\left(\ln x\right)+x\sin\left(\ln x\right)+c[/dispmath][dispmath]\int\cos\left(\ln x\right)\mathrm dx=\frac{x}{2}\left[\cos\left(\ln x\right)+\sin\left(\ln x\right)\right]+c[/dispmath]

slavonija035 je napisao:[dispmath]558.\;\int x\:\mathrm{arctg}\:x\:\mathrm dx[/dispmath]

[inlmath]u=x\:\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm du=\mathrm{arctg}\:x\:\mathrm dx+\frac{x}{1+x^2}\mathrm dx\\
\mathrm dv=\mathrm dx\\
v=x[/inlmath]
[dispmath]=x^2\mathrm{arctg}\:x-\int x\left(\mathrm{arctg}\:x+\frac{x}{1+x^2}\right)\mathrm dx=x^2\mathrm{arctg}\:x-\int x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx-\int\frac{x^2}{1+x^2}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=x^2\mathrm{arctg}\:x-\int x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx-\int\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\mathrm dx=x^2\mathrm{arctg}\:x-\int x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx-\int\frac{1+x^2}{1+x^2}\mathrm dx+\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=[/dispmath][dispmath]=x^2\mathrm{arctg}\:x-\int x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx-\int\mathrm dx+\mathrm{arctg}\:x=\left(x^2+1\right)\mathrm{arctg}\:x-\int x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx-x[/dispmath]
Dakle,
[dispmath]\int x\:\mathrm{arctg}\:x\:\mathrm dx=\left(x^2+1\right)\mathrm{arctg}\:x-\int x\mathrm{arctg}\:x\mathrm dx-x[/dispmath][dispmath]2\int x\:\mathrm{arctg}\:x\:\mathrm dx=\left(x^2+1\right)\mathrm{arctg}\:x-x+c[/dispmath][dispmath]\int x\:\mathrm{arctg}\:x\:\mathrm dx=\frac{x^2+1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{x}{2}+c[/dispmath]

[dispmath]\int\frac{x}{\sin^2x}\mathrm dx[/dispmath]
Ovo se rješava preko pravila za parcijalnu integraciju, ali buni me ovaj nazivnik. Možemo li sve "pretvoriti" u brojnik i tek onda rješavati zadatak?

Nisam baš shvatio šta podrazumevaš pod „pretvaranjem“ u brojnik? Nazivnik ne treba da te zbunjuje, budući da postoji tablični integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2 x}=-\mathrm{ctg}\:x+c[/inlmath], koji ćemo iskoristiti u parcijalnoj integraciji:

[inlmath]u=x\\
\mathrm du=\mathrm dx\\
\mathrm dv=\frac{\mathrm dx}{\sin^2 x}\\
v=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2 x}=-\mathrm{ctg}\:x[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{x}{\sin^2 x}\mathrm dx=-x\mathrm{ctg}\:x+\int\mathrm{ctg}\:x\mathrm dx=-x\mathrm{ctg}\:x+\int\frac{\cos x}{\sin x}\mathrm dx=\cdots[/dispmath]
pa zatim smena [inlmath]\sin x=t,\;\cos x\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]...

Hvala, riješio sam zadatak do kraja i ispalo mi je
[dispmath]\int\frac{x}{\sin^2x}=-x\mathrm{ctg}\:x+\ln |\sin x|+C[/dispmath]

Dalje
[dispmath]\int x^3\sin x\mathrm dx[/dispmath]
nakon što sam se 2 puta poslužio parcijalnom integracijom došao sam do ovoga:
[dispmath]-x^3\cos x+3x^2\sin x-6\int x\sin x\mathrm dx[/dispmath]
Ako je sve prethodno dobro, kako dalje? Ponovno parcijalnu integraciju preostalog integrala ili možda na način da stavim da je [inlmath]I=\int x\sin x\mathrm dx[/inlmath] pa rješavam dalje?

Edit: Napravio sam treću zaredom parcijalnu i dobio sljedeće rješenje zadatka (nadam se točno ):
[dispmath]-x^3\cos x+3x^2\sin x+6x\cos x-6\sin x+C[/dispmath] Ovo bi se moglo još srediti izlučivanjem [inlmath]x^2[/inlmath] iz prva dva člana i [inlmath]6[/inlmath] iz druga dva.

Sve tačno.

eseper je napisao:Ovo bi se moglo još srediti izlučivanjem [inlmath]x^2[/inlmath] iz prva dva člana i [inlmath]6[/inlmath] iz druga dva.

Ili, još bolje, izlučivanjem [inlmath]x\cos x[/inlmath] iz [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] sabirka i [inlmath]3\sin x[/inlmath] iz [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]4.[/inlmath]