MATEMANIJA

Pozdrav,

Može li neko pomoći
Izračunati rad sile
[dispmath]F(x,y,z)=x\cdot\vec i-z\cdot\vec j+2\cdot y\cdot\vec k[/dispmath]
na krivoj:
[dispmath]c:\begin{cases}
z=2-\sqrt{x^2+y^2}\\
x=y\\
z\ge0
\end{cases}[/dispmath]
postoji li neki brži način i lakši da se uradi ovaj zadatak osim da se ova "kriva" rastavi na tri prave koje prolaze kroz tačke [inlmath]A\left(\sqrt2,\sqrt2,0\right)[/inlmath], [inlmath]B(0,0,2)[/inlmath] i [inlmath]C\left(-\sqrt2,-\sqrt2,0\right)[/inlmath] i onda parametrizacijom dobijemo 3 krive
[inlmath]c_1:\begin{cases}
r(t)=\left(-\sqrt2\cdot(t-1),-\sqrt2\cdot(t-1),2\cdot t\right)\\
0\le t\le1
\end{cases}[/inlmath];
[inlmath]c_2:\begin{cases}
r(t)=\left(-\sqrt2\cdot t,-\sqrt2\cdot t,-2\cdot t+2\right)\\
0\le t\le1
\end{cases}[/inlmath]
[inlmath]c_3:\begin{cases}
r(t)=(t,t,0)\\
0\le t\le1
\end{cases}[/inlmath]
Ako nisam nigdje napravio grešku kao konačno rješenje se dobije [inlmath]4\cdot\sqrt2[/inlmath]

Hvala unaprijed

Prvo, nece postojati kriva [inlmath]c_3[/inlmath], jer je [inlmath]z=2-\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath] samo omotac (tj. bez unutrasnjosti). Tacnije, to je jednacina konusa, gde iz [inlmath]z=2-\sqrt{x^2+y^2}\le 2[/inlmath] i [inlmath]z \ge 0[/inlmath] vidimo da je sve dobro definisano (odnosno, nemamo neki beskonacni konus i slicno). No, i da postoji, nije mi jasno zasto si [inlmath]c_3[/inlmath] prosetao samo kroz ravan [inlmath]z=0[/inlmath] sa [inlmath]x,y>0[/inlmath], pa i zasto [inlmath]t \in [0,1][/inlmath]? To jest, ako si vec hteo da spajas tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], zar onda kriva [inlmath]c_3[/inlmath] nije trebalo da ima parametrizaciju [inlmath]r(t)=(t,t,0)[/inlmath] za [inlmath]-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}[/inlmath] (ponavljam ponovo, nama nece ni trebati ta krva, al eto nije lose naglasiti).

Isto tako, ja ne vidim bas neku potrebu da se razdvaja na [inlmath]c_1[/inlmath] i [inlmath]c_2[/inlmath]. Odnosno, mislim da parametrizacija [inlmath]c: r(t)=\bigl(t,t,2-\sqrt{2t^2}\bigr)[/inlmath] za [inlmath]-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}[/inlmath] sasvim fino zavrsava posao (da, imacemo razdvajanje za pozitivne i negativne [inlmath]t[/inlmath], zbog korena (tj. apsolutne), no to nije nista strasno).