MATEMANIJA

Može li neko pogledati da li je dobro ovo što sam uradio u sljedećem zadatku
Izračunati površinu površi
[dispmath]S:\begin{cases}
z=x^2+y^2\\
z=x+y
\end{cases}[/dispmath]
nakon rješavanja sistema dobijamo kružnicu koja nam predstavlja projekciju presjeka ova dva tijela na [inlmath]xOy[/inlmath] ravan
[dispmath]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}[/dispmath]


i onda tražimo površinu preko površinskog integrala prva vrste
[dispmath]\iint\limits_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right)^2}\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
i dobijemo
[dispmath]P=\iint\limits_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}\mathrm dx\mathrm dy+\iint\limits_D\sqrt3\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
granice integrala ćemo dobiti ako uvedemo polarne koordinate
[inlmath]\begin{cases}
x=r\cdot\cos\varphi\\
y=r\cdot\sin\varphi
\end{cases}[/inlmath]
pa se sređivanjem dobije
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi\cdot\sin\varphi\\
\frac{-\pi}{2}\le\varphi\le\pi[/inlmath]

Ono sto ti ovde imas u preseku nije povrs, vec kriva (i to je neki opsti slucaj, sem ako jedna povrs nije podskup one druge (dakle, veoma retko)). Sa [inlmath]z=x^2+y^2[/inlmath] je odredjen paraboloid, dok sa [inlmath]z=x+y[/inlmath] jedna ravan. I njihov presek je krug (tj. zatvorena kriva (tacnije, elipsa, ali cija je projekcija na [inlmath]Oxy[/inlmath] ravan krug)), kao sto si i nasao.

A ono sto se moze traziti, to je povrsina neke od te dve povrsi ogranicena datom krivom (tj. presekom). Ovde, u tekstu, to nije naglaseno (a trebalo je). Ali dobro, ako se bas mislilo na povrsinu koju ta kriva odseca na obe povrsi, onda da, tvoja formula jeste dobra (jer je to zbir ogranicenih povrsina od paraboloida, tj. ravni, koje odseca ovaj krug koji si napisao).

Ali, onda ti nisu dobre polarne koordinate. Naime, za [inlmath]r[/inlmath] je trebalo da dobijes [inlmath]0\le r\le\cos\varphi+\sin\varphi[/inlmath] (pri cemu iz [inlmath]\cos\varphi+\sin\varphi=\sqrt2\cos(\varphi-\frac{\pi}{4})\ge0[/inlmath] vidimo da je sve dobro definisano (da je tacno uradjeno)). Tacnije, tako kako si dobio ugao [inlmath]\varphi[/inlmath] imali bismo da [inlmath]r[/inlmath] moze biti negativno (sto naravno ne bi smelo da se desi). A stvar je zapravo u tome da ni [inlmath]\varphi[/inlmath] nisi dobro odredio (ti si to ovako vise intuitivno odredio, ali zapravo, trebalo je da povuces tangentu u [inlmath](0,0)[/inlmath] na krug, i onda vidis kako ti se ugao [inlmath]\varphi[/inlmath] krece).

Uglavnom je dobro, osim malo Latexa, trebalo bi da je ono [inlmath]D[/inlmath] ispod dvojnog integrala.
E sad šta ne valja:
Granice su pogrešne.
Tačne su ti formule i izvodi i, da, telo ima dve površine, tj deo ravni i deo paraboloida.
Ali granice:

bole je napisao:pa se sređivanjem dobije
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi\cdot\sin\varphi\\
\frac{-\pi}{2}\le\varphi\le\pi[/inlmath]

Ovo nije dobro.
Ja dobijam:
[dispmath]0\le r\le\cos\varphi+\sin\varphi[/dispmath]
E sada kaži da je kao što jeste:
[dispmath]\cos\varphi+\sin\varphi\ge0[/dispmath]
Pomnoži to s [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] i dobijaš adicionu formulu odakle je lako videti da je:
[dispmath]-\frac{\pi}{4}\le\varphi\le\frac{3\pi}{4}[/dispmath]
A to se vidi i s tvoje slike.

Hvala puno
za [inlmath]r[/inlmath] sam i dobio
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi+\sin\varphi[/inlmath] a šta mi je došlo da napišem puta ne znam ni sam, evo gledam i smijem se sam sebi šta sam napiso
a [inlmath]\varphi[/inlmath] sam kao što @onomatopeja reče odredio "metodom odokativno"