MATEMANIJA

Pozdrav.

Da li neko ima ideju kako da se pokaže da li integral
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
konvergira.

Bilo kakav savjet je dobro došao.

Hvala.

Neophodan je izvor, tj odakle je zadatak.
Ja sam integral rešio i dobio rezultat [inlmath]-\frac{\pi^2}{8}[/inlmath].

A radio sam ga tako što znam da je nesvojstveni integral pa su obe granice "nezgodne".
Tj [inlmath]1[/inlmath] se ne "uklapa" u imenilac podintegralne funkcije, a [inlmath]0[/inlmath] se ne "uklapa" u brojilac.
Pustio sam dva limesa i dobio rezultat.
Ono što mi nije jasno je da li treba prosto uraditi zadatak i pokazati da je rezultat konačna vrednost ili se traži teorijsko ispitivanje i dokazivanje da li integral konvergira ili divergira?
Molim za pojašnjenje.

@desideri

Dovoljno je pokazati da on ili konvergira ili divergira, sad ne boli ako se i izračuna.

Meni nikako nije jasno kako uspiješ dobiti taj rezultat?

Ja sam dobio da on konvergira prema [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] kad se [inlmath]x[/inlmath] približava [inlmath]1[/inlmath] sa lijeve strane.

Sad kako dobi [inlmath]-\frac{\pi^2}{8}[/inlmath] nije mi jasno?

@Gandalf, ne znam zašto ignorišeš ovo:

desideri je napisao:Neophodan je izvor, tj odakle je zadatak.

Naime, ja ne znam da li je zadatak za srednju školu, fakultet, osnovne studije, master studije ili doktorske studije. Može biti bilo koja oblast studija.
I šta je izvor? Koja zbirka, koji ispit ili šta već?
Razlika je u primeni alata koji se koriste i to je jako bitno.

Tvoje rešenje ne pije vodu, po meni.
Ja sam podintegralnu funkciju rastavio ovako:
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\left(\frac{\ln x}{1+x}+\frac{\ln x}{1-x}\right)\mathrm dx[/dispmath]
Potom sam ovo rastavio na dva integrala uz odgovarajuće limese jer su nesvojstveni i razvijao u red podintegralne funkcije.
Moj rezultat je tačan.

Da se doreknem:
Nadam se da ti je poznato da je:
[dispmath]\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}[/dispmath]
Naravno za [inlmath]-1<x\le1[/inlmath]
Potom ima tu još par suma harmonijskih redova i to je to.
No ponavljam, nisi mi odgovorio koji je nivo, koji je izvor.
Pozdrav.

I još:
Ovo je poznata suma (tablična koliko ja znam i relativno lako dokaziva):
[dispmath]\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/dispmath]
Ti ćeš imati u ovom postupku i alternativne redove, sve je to ok ali te po treći put molim da navedeš izvor i nivo inače idemo i na kompleksnu analizu.

Dati zadatak bih uradio na sledeci nacin: prvo, obelezimo [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{1-x^2}[/inlmath] za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] i primetimo da su u nasem integralu problematicne tacke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (odnosno kada se priblizavamo tim tackama sa desne, tj. leve strane). Zato, napisimo nas integral kao
[dispmath]\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx+\int_{1/2}^1\!\:\!f(x)\,dx.[/dispmath]
No, kako je [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x)=-\frac{1}{2}[/inlmath], to mozemo dodefinisati [inlmath]f(x)[/inlmath] po neprekidnosti na segmentu [inlmath]\bigl[\frac{1}{2},1\bigr][/inlmath]. A kako dalje znamo da je neprekidna funkcija na segmentu i integrabilna, to onda [inlmath]\displaystyle\int_{1/2}^1\!\:\!f(x)\,dx[/inlmath] postoji i predstavlja konacnu vrednost.
Dakle, potrebno je jos pokazati da [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx[/inlmath] konvergira. To obicno radimo tako sto ga uporedimo sa nekim od integrala oblika [inlmath]\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{x^\alpha}[/inlmath], za koji znamo da konvergira za [inlmath]\alpha<1[/inlmath] (naravno, [inlmath]a>0[/inlmath] proizvoljno (ne, ne mora biti striktno jedinica, kako mnogi ponekad pomisle)). Naime, dovoljno je uzeti [inlmath]\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] (moglo je bilo sta iz [inlmath](0,1)[/inlmath]), jer vazi [inlmath]f(x)=o(x^{-1/2})[/inlmath], kad [inlmath]x\to0^+[/inlmath], a kako je [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!x^{-1/2}\,dx[/inlmath] konvergentan, to je onda konvergentan i integral [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx[/inlmath].

@desideri: super je ako se zna da se eksplicitno izracuna integral (cime onda sigurno konvergira), sto je i moguce u ovom primeru, ali zaista sumnjam da se to ovde ocekivalo (tj. mislim da je ovo ipak zadatak iz nekog uvodnog kursa analize). Za tvoje resenje je ipak potrebno malo vise teorije, jer je potreban i pojam ravnomerne (uniformne) konvergencije, da bi mogao da zamenis mesta integralu i sumi (sto je obicno najteze za opravdati u ovakvim zadacima (koji mogu da se izracunaju)). I da, mislim da ovo definitivno nije zadatak za srednju skolu/master studije/doktorske studije (za drugo i trece, to bi bilo malo i tuzno).

@Onomatopeja,
apsolutno se slažem s tvojim prethodnim postom (uostalom i sa svim tvojim postovima) ali korisniku po četvrti put postavljam pitanje odakle je izvor, tj. zadatak.
Ja ovim ne požurujem korisnika, ne. Jednostavno zbog ostalih korisnika insistiram na ovome.
Značiće ljudima. Ako ikad odgovori @Gandalf.

Pozdrav!

Kako da odredim da li je integral kovergentan/divergentan? Znam da se to moze preko limesa, ali mislim da ovdje to ne mogu primijeniti ili? Bila bih jako zahvala ako bi mi neko mogao objasniti najjednostavniji nacin na osnovu kog bih mogla utvrditi konvergenciju, tj. divergenciju.
[dispmath]\int\limits_{-\infty}^0\!x^2\cdot e^{-x^2}\,\mathrm dx[/dispmath]

Konvergira ovaj integral, baš sam i rezultat dobio:
[dispmath]\frac{\sqrt\pi}{4}[/dispmath]
Uveo sam smenu najpre [inlmath]x=-t[/inlmath] a potom i smenu [inlmath]t^2=z[/inlmath].
Potom sam iskoristio osobine gama funkcije, tj. nesvojstvenog integrala.
E sada znam da ću dobiti kritike od kolega iz moderatorskog tima jer je ovde u pitanju konvergencija a ne uraditi integral, ali ja jednostavno nisam odoleo.
Obožavam integrale, a posebno ovog tipa.
Izvinjavam se korisnici ako odgovor nije kompletan, mogu se ja i doreknuti.
Uostalom postovaću sve, ceo postupak ako to bilo ko zahteva.

Hvala u svakom slucaju! Ako bi neko jos mogao da mi pojasni kako da pokazem da je kovergentan, bilo bi super.

Pa, samim tim što se dobije konačan rezultat za taj integral, time je pokazano i da je isti konvergentan.

Samo primeni postupak za koji je Desideri dao instrukcije, pri tome se možeš koristiti i ovim Desiderijevim tutorijalom o Gama funkciji (pretpostavljam da Desideri zbog skromnosti nije hteo da linkuje na taj svoj, inače sjajan, tutorijal – ali eto, ja linkujem).

Da li postoji neki drugi nacin, jer nisam ovo jos radila (na pocetku sam fakulteta)?

Pogledaj moj post na prethodnoj strani, za prvi (izvorni) zadatak sa teme. Imitiranjem tog postupka se moze pokazati da tvoj integral konvergira.

Sto se tice tog nacina poredjenja sa nekom drugom funkcijom, ne razumijem kako da znam sa kojom funkcijom da uporedim? Da li opcenito postoji neko pravilo, jer imam jos ovakvih slicnih zadataka i sigurno svaki od njih se uporedjuje sa nekom drugom?

Osim što bih se složio s gore datim postovima kolega Daniela i Onomatopeje, dodao bih i da je podintegralna funkcija parna. To znači ovde:
[dispmath]\int\limits_{-\infty}^0\!x^2\cdot e^{-x^2}\,\mathrm dx=\int\limits_0^{\infty}\!x^2\cdot e^{-x^2}\,\mathrm dx[/dispmath]
Lakše je dalje za rad. Sve je u plusu, a sve isto kao i u postavci zadatka.
Dalje, podintegralna funkcija kreće iz nule ([inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath]) i ima horizontalnu asimptotu [inlmath]y=0[/inlmath] kada [inlmath]x[/inlmath] teži plus beskonačnosti (mislim na integral na desnoj strani).
I još nešto: koliko vidim ovako napamet (proveri ovo!) podintegralna funkcija ima maksimum za [inlmath]x=1[/inlmath] naravno opet za desni integral.
Nadam se da ovo ponešto pomaže, makar oko ukupnog razumevanja konvergencije ovog nesvojstvenog integrala.

choco je napisao:Sto se tice tog nacina poredjenja sa nekom drugom funkcijom, ne razumijem kako da znam sa kojom funkcijom da uporedim? Da li opcenito postoji neko pravilo, jer imam jos ovakvih slicnih zadataka i sigurno svaki od njih se uporedjuje sa nekom drugom?

To sve zavisi od primera do primera i stvar je iskustva. Dakle, ne postoji pravilo, ali obicno se „zna“ sta raditi (no za to je potrebno i malo iskustva, tj. vezbe).

Da li si uspela da dovrsis ovaj svoj zadatak?