MATEMANIJA

Pozdrav!

Nadam se da mi neko može dati upustvo kako izračunati površinu elipse putem određenog integrala? Formula elipse:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath]
Hvala!

Pozdrav i dobrodoslica od mene.

Molim te procitaj Pravilnik, jer apsolutno svaki novi clan ga krsi, iz ne znam kog razloga. Latex koristis, sto je pohvalno.

Sto se tice pitanja, treba da napises da li imas neku ideju (a, ako imas da je i napises) ili nemas bas nikakvu ideju (sto je ovde i verovatnije, ali ipak treba to naglasiti). Dopuni sa ovim, pa mozemo nastaviti, tek nakon sto neko od moderatora odobri, jer ne zelim da kucam resenje pa da se tema obrise.

Toliko od mene za sad, i jos jednom dobrodosla.

Hvala na odgovoru! Ovako pronasla sam neke informacije sto se tice zadatka, moje pitanje je zasto su granice integrala [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=a[/inlmath], ili drugdje sam pronašla [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] ?

choco je napisao:Ovako pronasla sam neke informacije sto se tice zadatka...

Pa ono, budi slobodna da to izneses ovde (te informacije ili postupak), uz navodjenje izvora (ako je potrebno), pa onda da vidimo sta ti sve tu nije jasno. Mislim da je tako najlakse.

Koristila sam forumulu:
[dispmath]P=4\cdot\int y \, \mathrm dx[/dispmath]
gdje je [inlmath]x=a\cdot\cos t[/inlmath] i [inlmath]y=b\cdot\sin t[/inlmath]

Radeći taj integral dolazim do koraka: [inlmath]2ab\left(t-\frac{1}{2}\sin2t\right)[/inlmath] i sad ne znam kako da to izračunam do kraja... Kada uvrstim [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] dobijem [inlmath]2ab\left(\frac{\pi}{2}-1\right)[/inlmath]... o.O

I pitanje je jos bilo zasto, se za granice integrala uzimaju [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], ali mislim da sam to shvatila. Jos samo ovaj jedan korak me zanima? Hvala.

Pre svega, kakav je ovo sad haos sa Latex-om? U prvom postu je bilo dobro, a sad je haoticno. Ispred svih komandi u Latex-u koristi \, znaci \sin, a ne sin. Takodje, za razlomke (deljenje) umesto /, mozes koristiti komandu \frac{}{}, a umesto * za mnozenje, korsiti \cdot.

---

Pa, znas li kako se racuna odredjeni integral. Posto rece da su ti granice jasne, znaci, samo zamenis granice u dobijenom resenju:
[dispmath]\left.-2ab\left(t-\frac{1}{2}\sin2t\right)\right|_{\pi/2}^0=-ab(2t-\sin2t)\Bigr|_{\pi/2}^0=ab(\sin2t-2t)\Bigr|_{\pi/2}^0=\\
=ab(\sin0-0)-ab(\sin\pi-\pi)=-ab(0-\pi)=\enclose{box}{ab\pi}[/dispmath]
Znamo, nadam se, da je [inlmath]\sin0=0[/inlmath] i [inlmath]\sin\pi=0[/inlmath]. Inace, fali ti minus ispred [inlmath]2ab[/inlmath], kao sto mozes i primetiti. Proveri to jos jednom. To bi bilo to.

Da znam kako se racuna, ali nesto sam bila pogrijesila i nikako da dodjem do rezultata. Uglavnom sad je sve jasno! Hvala.

Može i ovako
ako bi uzeli da su granice [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=a[/inlmath] onda bi išlo (odnosno ukoliko ne znamo da možemo uzeti [inlmath]x=a\cdot\cos t[/inlmath] i [inlmath]y=b\cdot\sin t[/inlmath]):
[dispmath]y=\pm b\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}\\
P=4\cdot\int\limits_0^ab\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}\mathrm dx=\begin{bmatrix}
\frac{x}{a}=\sin t\\
\mathrm dx=a\cos t\,\mathrm dt\\
x=0 & t=0\\
x=a & t=\frac{\pi}{2}
\end{bmatrix}=\\
=4\cdot b\cdot\int\limits_0^\frac{\pi}{2}a\cdot\cos^2t\,\mathrm dt=\cancel4\cdot a\cdot b\cdot\frac{\pi}{\cancel4}=a\cdot b\cdot\pi[/dispmath]
pretpostavljam da vidiš zašto su granice [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=a[/inlmath]

Potvrđujem tačnost rešenja da je površina elipse [inlmath]ab\pi[/inlmath].
Dalje, ja sam ovo svojevremeno poredio s površinom kruga, tj [inlmath]rr\pi[/inlmath].
Elipsa ima dve različite poluose, a krug dve iste poluose.
@choco,
U postavci zadatka nije naglašeno koji je nivo matematike koji se zahteva, pošto zadatak može da se uradi u jednom koraku preko dvojnog integrala i polarnih smena.
To je sasvim kompatibilno s ovim što su radili Ilija i Bole.

Evo i da se doreknem:
[dispmath]x=a\cdot r\cdot\cos\varphi\quad y=b\cdot r\cdot\sin\varphi\quad\mathrm dx\mathrm dy=a\cdot b\cdot r\,\mathrm dr\mathrm d\varphi[/dispmath][dispmath]P=ab\int\limits_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_0^1r\mathrm dr=ab\pi[/dispmath]