MATEMANIJA

Dolazim do problema prilikom rešavanja ovog zadatka:
[dispmath]\int\frac{x^3+4x^2+4x}{x^4+x}\,\mathrm dx[/dispmath]
Prvo sam sredila razlomak
[dispmath]\int\frac{x\left(x^2+4x+4\right)}{x\left(x^3+1\right)}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\frac{x^2+4x+4}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pa sam primenila metod neodređenih koeficijeata:
[dispmath]=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/dispmath][dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]
[inlmath]A+B=1\quad\Rightarrow\quad B=1-A\\
C-A=4\quad\Rightarrow\quad C=4+A\\
A+B+C=4\\
A=-1,\;B=2,\;C=3[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-1}{x+1}\,\mathrm dx+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
Ovde se uvodi zamena [inlmath]t=x+1\quad\Rightarrow\quad\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=-\int\frac{1}{t}\,\mathrm dt+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]=-\ln|t|+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
i posle ovoga ne znam šta dalje da radim sa integralom :
[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]

Mozes ovaj integral napisati tako da jedan deo brojioca predstavlja izvod imenioca. Dakle:

[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx=\int\frac{2x-1+4}{x^2-x+1}\,\mathrm dx=\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,\mathrm dx+4\int\frac{\mathrm dx}{x^2-x+1}[/dispmath]
Sad za ovaj prvi jednostavno uvedes smenu [inlmath]x^2-x+1=z[/inlmath] i to ce da se svede na tablicni. Sto se tice drugog integrala, mozes imenilac dopuniti do kvadrata binoma, pa onda uvesti smenu (jer ce to liciti na tablicni za arkus tangens). Znaci:
[dispmath]4\int\frac{\mathrm dx}{x^2-x+1}=4\int\frac{\mathrm dx}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}[/dispmath]
Uvedes smenu [inlmath]x-\frac{1}{2}=m[/inlmath], pa se to svede na:
[dispmath]4\int\frac{\mathrm dx}{m^2+\frac{3}{4}}[/dispmath]
Dalje je to valjda lako.

Mozda moze i lakse, ali ovo mi prvo pade na pamet.

@whodin, možeš pogledati i ovaj post.

Inače, ovde imaš grešku:

whodin je napisao:[dispmath]=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/dispmath][dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]

Treba da bude
[dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B{\color{red}x}+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]

@Ilija Da da, razdvojila sam ga ja u jednom trenutku ali me je ovo [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] zbunjivalo, hvala u svakom slučaju!
@Daniel Hvala na ukazanoj grešci, to bukvalno menja celi zadatak