MATEMANIJA

Zadatak sa integralom korišćenjem Ojlerove smene:
[dispmath]\int\frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}\,\mathrm dx[/dispmath]
Primena 1. ojlerove smene
[inlmath]\sqrt{x^2+3x+2}=t+x\\
\left(x^2+3x+2\right)=t^2+2tx+x^2\\
3x-2tx=t^2-2\\
\displaystyle x=\frac{t^2-2}{3-2t}[/inlmath]

[inlmath]\mathrm dx=x'\\
\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}\,\mathrm dt[/dispmath]
To kad sredim dobijem:
[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]
Primena metode neodređenih koeficijenata:
[dispmath]=\frac{A}{3t-4}+\frac{B}{3-2t}[/dispmath][dispmath]=\frac{3A-2At+3Bt-4B}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]
[inlmath]-2A+3B=-4,\;3A+4B=0\\
A=-16,\;B=-12[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-16}{3t-4}\,\mathrm dt+\int\frac{-12}{3-2t}\mathrm dt[/dispmath]
[inlmath]\displaystyle3t-4=s,\;3\mathrm dt=\mathrm ds,\;\mathrm dt=\frac{\mathrm ds}{3}\\
\displaystyle3-2t=d,\;-2\mathrm dt=\mathrm dd,\;\mathrm dt=\frac{\mathrm dd}{-2}[/inlmath]
[dispmath]-16\cdot\int\frac{1}{s}\left(\frac{\mathrm ds}{3}\right)-12\cdot\int\frac{1}{d}\left(\frac{\mathrm dd}{-2}\right)[/dispmath]
Ovo kad sredim dobijam:
[dispmath]\frac{-16}{3}\ln|3t-4|+6\ln|3-2t|[/dispmath]
Da li ovako ostavljam rešenje zadatka ili treba ovo [inlmath]t[/inlmath] da vratim u početno [inlmath]x[/inlmath]?

Pa trebalo bi uvek to da se vrati. Koja promenljiva figurise u postavci zadatka, trebalo bi da se nadje i u resenju samog zadatka. Dakle, ako je integral po [inlmath]x[/inlmath] i resenje treba prikazati po [inlmath]x[/inlmath]. Dakle, vratiti sve smene. E sad, ako je bas nesto ruzno i teze za sredjivanje ukoliko se smene vrate, pa profesor i tolerise da se smene ne vracaju, to je u redu. Ali to opet zavisi od onog ko ce to pregledati. Mada, ne vidim nista tesko u tome da se smene vrate.

Male zamerke oko koriscenja Latex-a...za mnozenje umesto *, koristi \cdot (sto ce dati [inlmath]\cdot[/inlmath]), a kad pod korenom imas vise od jednog elementa stavi to u {}, da bi sve uslo pod koren.

U redu, i važi, nisam odavno bila ovde, pa nisam mogla da se setim da li se nešto korisit umesto *

Prvo da skrenem pažnju na neke sitnije greške,

whodin je napisao:[inlmath]\mathrm dx=x'[/inlmath]

Fali ti [inlmath]\mathrm dt[/inlmath]. Dakle, [inlmath]\mathrm dx=x'\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath].

whodin je napisao:[inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}[/inlmath]

Takođe, fali [inlmath]\mathrm dt[/inlmath], ali i izraz u imeniocu treba da bude kvadriran: [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{\left(3-2t\right)^{\color{red}2}}\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath]

whodin je napisao:[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}\,\mathrm dt[/dispmath]

Takođe, i ovde fali kvadrat, treba
[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{\left(3-2t\right)^{\color{red}2}}\,\mathrm dt[/dispmath]

whodin je napisao:To kad sredim dobijem:
[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]

Međutim, ovaj izraz jeste u redu, do njega bismo i došli da smo u prethodnim koracima imali taj kvadrat.

---

A sad, malo krupnija greška:

whodin je napisao:[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]
Primena metode neodređenih koeficijenata:
[dispmath]=\frac{A}{3t-4}+\frac{B}{3-2t}[/dispmath][dispmath]=\frac{3A-2At+3Bt-4B}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]

Ovo ne smeš ovako da radiš. Na ovaj način si zanemarila sabirke [inlmath]2t^3[/inlmath] i [inlmath]-6t^2[/inlmath] u brojiocu (pored toga što si i sabirak [inlmath]4t[/inlmath] greškom posmatrala kao [inlmath]-4t[/inlmath]).

Kada ti je stepen polinoma u brojiocu veći ili jednak od stepena polinoma u imeniocu (kao što je ovde slučaj), tada taj nepravi razlomak moraš prvo svesti na pravi razlomak:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=G\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/dispmath]
gde je [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] kolilčnik, a [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath].
Tada integral polinoma [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] lako nađemo, a integral količnika [inlmath]\displaystyle\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/inlmath] računamo rastavljanjem na parcijalne razlomke (to jest, primenom metode neodređenih koeficijenata kako ti kažeš, mada ja za taj izraz nisam dosad čuo, osim kod rešavanja diferencijalnih jednačina).

Uostalom, hajde da proverimo rezultat tvog (pogrešnog) postupka:

whodin je napisao:[inlmath]-2A+3B=-4,\;3A+4B=0\\
A=-16,\;B=-12[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-16}{3t-4}\,\mathrm dt+\int\frac{-12}{3-2t}\mathrm dt[/dispmath]

[dispmath]\frac{-16}{3t-4}+\frac{-12}{3-2t}=\frac{-16\left(3-2t\right)-12\left(3t-4\right)}{\left(3t-4\right)\left(3-2t\right)}=\frac{-4t}{\left(3t-4\right)\left(3-2t\right)}{\color{red}\ne}\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]