MATEMANIJA

Naci povrsinu tijela koje nastaje rotacijom kruga [inlmath]x^2+(y+3)^2=4[/inlmath] oko [inlmath]O_x[/inlmath] ose. Ovako glasi zadatak. E sad, ja nisam siguran kako ta povrsina da se izracuna. Mislim da ne moze preko klasicne formule za povrsinu rotacionog tijela. Mislio sam da krug moze da se podijeli na gornji i donji dio, pa da se racuna povrsina kao razlika te dvije povrsine ali ne znam kako to da uradim. Nadam se da cete mi pomoci.

Taj krug ako rotira oko [inlmath]x[/inlmath] ose daje torus, iliti "đevrek" kako ga ja vidim. Termin je iz pekare.
Ipak preko integrala.

Hahahahaha, da, u pitanju je torus. Da li to znaci da samo treba da iskoristim formulu za povrsinu tijela koje rotira oko [inlmath]O_x[/inlmath] ose a funkcija je u stvari taj krug?

Izrazi se [inlmath]y[/inlmath] ovako:
[dispmath]y=-3\pm\sqrt{4-x^2}[/dispmath]
Nadje se zapremina koja nastaje donjim polukrugom
[dispmath]y=-3-\sqrt{4-x^2}[/dispmath]
Nadje se zapremina koja nastaje gornjim polukrugom
[dispmath]y=-3+\sqrt{4-x^2}[/dispmath]
Oduzmes te dve zapremine i to ti je resenje. Zapreminu naravno nalazis po formuli za zapreminu tela preko integralnog racuna.
Zapremina torusa je jednaka [inlmath]V=2ab^2\pi^2[/inlmath]. Gde je [inlmath]a[/inlmath] rastojanje do centra kruga, a [inlmath]b[/inlmath] je poluprecnik kruga koji se rotira.
Tako da ovde dobijemo
[dispmath]2\cdot3\cdot4\cdot\pi^2=24\pi^2[/dispmath]

I ja odgovarah na zapreminu umesto na povrsinu xD
I naravno povrsina:
Za nju je dovoljno naci povrsinu ove krive koja rotira i pomnoziti sa dva.
[dispmath]y=-3-\sqrt{4-x^2}[/dispmath]
Povrsina torusa je [inlmath]P=4ab\pi^2[/inlmath] pa dobijemo
[dispmath]4\cdot3\cdot2\pi^2=24\pi^2[/dispmath]

Trougao je napisao:I naravno povrsina:
Za nju je dovoljno naci povrsinu ove krive koja rotira i pomnoziti sa dva.
[dispmath]y=-3-\sqrt{4-x^2}[/dispmath]

Neće ići tako. Površine koje obrazuju krive [inlmath]y=-3-\sqrt{4-x^2}[/inlmath] i [inlmath]y=-3+\sqrt{4-x^2}[/inlmath] (tj. spoljašnja i unutrašnja površina torusa) nisu jednake. Kriva [inlmath]y=-3-\sqrt{4-x^2}[/inlmath] pri rotaciji prelazi veći put nego kriva [inlmath]y=-3+\sqrt{4-x^2}[/inlmath], pa samim tim opisuje i veću površinu. Dakle, spoljašnja površina torusa veća je od njegove unutrašnje površine.
Zato je, radi računanja ukupne površine torusa, potrebno sabrati te dve površine.
Ono što se može uraditi, to je da se, zbog simetrije u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, ne integrali od [inlmath]-R[/inlmath] do [inlmath]R[/inlmath], već samo od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]R[/inlmath] pa to zatim pomnoži sa [inlmath]2[/inlmath].

Trougao je napisao:Povrsina torusa je [inlmath]P=4ab\pi^2[/inlmath] pa dobijemo
[dispmath]4\cdot3\cdot2\pi^2=24\pi^2[/dispmath]

U slučaju da se formula za površinu torusa priznaje kao nešto što nam je poznato, može se rešiti i ovako, ubacivanjem zadatih vrednosti u tu formulu. U suprotnom, ne gine integral.

milosuchiha je napisao:Da li to znaci da samo treba da iskoristim formulu za povrsinu tijela koje rotira oko [inlmath]O_x[/inlmath] ose a funkcija je u stvari taj krug?

Krug ne može biti funkcija, jer kod njega nije zadovoljena jednoznačnost – da se za svaku vrednost nezavisne promenljive dobije tačno jedna vrednost funkcije. Međutim, krug se može podeliti na dva dela – gornji i donji (upravo kao što si i napisao) – i svaki od njih se tada može posmatrati kao funkcija.

milosuchiha je napisao:Mislio sam da krug moze da se podijeli na gornji i donji dio, pa da se racuna povrsina kao razlika te dvije povrsine

Ne razlika, već zbir. Da smo tražili zapreminu (kô što je Trougao i uradio), tada bismo od zapremine tela kojeg obrazuje spoljašnja kriva oduzeli zapreminu tela kojeg obrazuje unutrašnja kriva.
Ali, kad se traži površina, kô što rekoh, tu površinu čine i spoljašnja i unutrašnja površina torusa – dakle, treba ih sabrati.

Formula za površinu tela kojeg obrazuje kriva [inlmath]y[/inlmath] koja rotira:
[dispmath]P=2\pi\int\limits_a^by\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,\mathrm dx[/dispmath]
Dakle, u formulu za spoljašnju površinu treba uvrstiti [inlmath]y_1=-3-\sqrt{4-x^2}[/inlmath], a u formulu za unutrašnju površinu uvrstiti [inlmath]y_2=-3+\sqrt{4-x^2}[/inlmath] i zatim tako dobijene dve površine sabrati.

Hvala puno.

Desideri mi je skrenuo pažnju (hvala mu za to) da nisam najjasnije naveo šta podrazumevam pod svojim improvizovanim terminima „unutrašnja“ i „spoljašnja“ površ torusa, pa evo da se doreknem.
Pod njima ne podrazumevam tzv. „lice“ i „naličje“ materijala od kojeg je torus sačinjen.
Na slici sam crvenkastom bojom obojio „spoljašnju“, a zelenkastom „unutrašnju“ površ torusa.


Dakle, pod „unutrašnjom“ površi podrazumevam onaj deo površi torusa koji je okrenut ka otvoru unutar torusa, a pod „spoljašnjom“ površi onaj deo koji je okrenut na suprotnu stranu od otvora torusa.
Drugim rečima, „unutrašnja“ površ dobije se rotacijom one polovine kružnice koja je bliža osi rotacije (u ovom slučaju [inlmath]x[/inlmath]-osi), a „spoljašnja“ površ se dobije rotacijom one polovine kružnice koja je dalja od ose rotacije.
„Spoljašnja“ površina iznosi [inlmath]P_1=2\pi^2ab+4\pi b^2[/inlmath] (prema oznakama koje je Trougao objasnio), dok „unutrašnja“ površina iznosi [inlmath]P_2=2\pi^2ab-4\pi b^2[/inlmath].
I, kad se te dve površine saberu, dobije se ukupna površina torusa, [inlmath]P=4\pi^2ab[/inlmath].

Daniel,
Bravo i za sliku i za komentar!
Meni je sada kristalno jasno, a nadam se da je i korisnicima.