MATEMANIJA

Pozdrav zadatak glasi:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}[/dispmath]
nikako ne mogu da ga resim pokusao sam da napravim nekako da u imeniocu bude [inlmath]\sqrt{1-x^2}[/inlmath] jer je [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx=\arcsin x[/inlmath] ali ne da mi se da sredim ovu cetvorku,ne mogu da razdvajam imenilac.Generalno ovakav oblik integrala mi predstavlja problem pa bih cenio ako neko objasni. Hvala na vremenu

Dobro si uocio da ce biti nesto nalik [inlmath]\arcsin x[/inlmath]. Ne znam da li si upoznat sa Ojlerovom smenom tj. resavanjem integrala oblika [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C[/dispmath]
Sredi malo kvadratnu pod korenom i dovedi je u oblik [inlmath]a^2-x^2[/inlmath] , naravno napomena da je u ovom slucaju [inlmath]x^2[/inlmath] zapravo smena, bolje je napisati [inlmath]t^2[/inlmath]

Ovde ne mogu da odolim da se ne umešam.
dao sam thanks Herien Wolf-u i u pravu je ali ovo ne zahteva Ojlerovu smenu.
Što bi rekao kolega Onomatopeja zašto topom pucati na komarca, ili tako nešto, mislim da nisam dobro citirao.

Najprostije je svesti potkorenu veličinu na:
[dispmath]5-\left((x-2)^2\right)[/dispmath]
Potom naći takoreći tablični integral:
[dispmath]\arcsin\left(\frac{x-2}{\sqrt5}\right)+C[/dispmath]
p.s. Spremam tutorijal na temu integracije iracionalnih funkcija i ovo mi je bio jedan od elementarnih primera. Znaju kolege iz moderatorskog tima da sam davno "zapretio" tim tutorijalom, no nikako da ga završim i postujem, ne stižem.

Mala ispravka integrala
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}dx[/dispmath]

Herien Wolf je napisao:Dobro si uocio da ce biti nesto nalik [inlmath]\arcsin x[/inlmath]. Ne znam da li si upoznat sa Ojlerovom smenom tj. resavanjem integrala oblika [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C[/dispmath]

Cek malo ovo otvara potpuno nove horizonte [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin\frac{x}{1}+C[/inlmath] sto znaci da kada dobijem jedncinu pod korenom ako potkorenu velicinu svedem na [inlmath]\sqrt{a^2-b^2}[/inlmath] mogu da se pozovem na integraciju [inlmath]\frac{\mathrm db}{\sqrt{a^2-b^2}}[/inlmath] i dobijem [inlmath]\arcsin\frac{b}{a}[/inlmath]
Isto bi trebalo da vazi i kad je arkus tagens u pitanju [inlmath]\text{arctg }\frac{x}{1}=\frac{\mathrm dx}{1+x^2}[/inlmath] ako se integral svede na [inlmath]\frac{\mathrm db}{a^2+b^2}=\text{arctg }\frac{b}{a}[/inlmath] naravno [inlmath]a[/inlmath] je konstanta [inlmath]b[/inlmath] je smena. Hvala na objasnjenjima .

Kod arkus sinusa jeste ovako:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+c[/dispmath]
a kod ovog drugog - arkus tangensa, ako se ne varam, imamo:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\text{arctg }\frac{x}{a}+c[/dispmath]

[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}[/dispmath]
Slucaj kada je [inlmath]a>0[/inlmath] integral se svodi na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^2+k^2}}[/inlmath], a za [inlmath]a<0[/inlmath] na integral oblika [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{k^2-t^2}}[/inlmath]

A za drugi deo tvoje poruke
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\int\frac{\mathrm dx}{a^2\cdot\left(1+\left(\frac{x}{a}\right)^2\right)}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}[/dispmath]
uvodimo smenu [inlmath]t=\frac{x}{a}\;\Rightarrow\;x=t\cdot a[/inlmath]
[inlmath]\mathrm dx=a\,\mathrm dt[/inlmath]
Sad samo zamenis u pocetni integral tj.
[dispmath]\frac{1}{a^2}\int\frac{\mathrm a\,\mathrm dt}{1+t^2 }=\frac{1}{a}\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\frac{1}{a}\text{arctg }t+C=\frac{1}{a}\text{arctg }{\frac{x}{a}}+C[/dispmath]

Batonja je napisao:Mala ispravka integrala
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}dx[/dispmath]

Ti si ga prvobitno i bio napisao tako, ali sam to shvatio kao grešku u kucanju pa sam zato ispravio, ne pitajući te.
Pod integralom ne možeš imati dva diferencijala.
Znači, ako ti se [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] već pojavljuje u brojiocu razlomka, ne može se pojavljivati i nakon razlomka.
Dakle, može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}[/inlmath] i može [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath], ali ne može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath].
Ako ti je u knjizi/zbirci/svesci zaista napisano ovako kako si ti napisao, onda je to greška.

---

Što se tiče pitanja u vezi s arkus sinusom i arkus tangensom, Herien Wolf ti je to pokazao koristeći smenu. Moguće je to pokazati i bez smene:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{\mathrm dx}{a\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\int\frac{\frac{1}{a}\,\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{a}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+c[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\int\frac{\mathrm dx}{a^2\left[1+\left(\frac{x}{a}\right)^2\right]}=\frac{1}{a}\int\frac{\frac{1}{a}\,\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{1}{a}\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{a}\right)}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{1}{a}\text{arctg }\frac{x}{a}+c[/dispmath]

Daniel je napisao:Dakle, može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}[/inlmath] i može [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath], ali ne može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath].

Pojavljuje se tako u zbirci i to 2 puta u zadacima za vezbu pa sam zato mislio da moze da dodje u obzir,uvodio sam neku smenu za izraz ispod i za ceo koren da bih nekako zajedno integrirao [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] ali bezuspesno(znam da moram da zamenim sve [inlmath]x[/inlmath]-eve kad pravim smenu ali morao sam da probam sve sto mi padne na pamet ) , video sam da je greska nakon sto mi je Herien pokazao ovo uvodjenje smene,onda sam probao samo sa jednim [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i dobio resenje kao u zbirci.Hvala na pojasnjenjima

Pozdrav da ne otvaram novu temu jel ako moze neko da mi napise da li su ovo ista resenja:
[dispmath]3\cdot\ln|x+2|-2\cdot\ln|x+3|+c[/dispmath]
i
[dispmath]\ln\frac{|x+3|^3}{(x+2)^2}+c[/dispmath]
Prvo resenje je moje a drugo daje zbirka u pitanju je sledeci integral
[dispmath]\int\frac{x}{x^2+5x+6}\,\mathrm dx[/dispmath]
Radio sam preko metode neodredjenih koeficijenata
[inlmath]\int\frac{x}{(x+3)\cdot(x+2)}\,\mathrm dx[/inlmath]

[inlmath]\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}[/inlmath]

[inlmath]\frac{A\cdot(x+2)+B\cdot(x+3)}{(x+3)\cdot(x+2)}[/inlmath]

[inlmath]\frac{x\cdot(A+B)+(2A+3B)}{(x+3)\cdot(x+2)}=\frac{x}{(x+2)\cdot(x+3)}[/inlmath]

[inlmath]A+B=1[/inlmath]

[inlmath]2A+3B=0[/inlmath]

[inlmath]A=3;\;B=-2[/inlmath]

[inlmath]-2\int\frac{1}{x+2}\,\mathrm dx+3\int\frac{1}{x+3}\,\mathrm dx[/inlmath]
dalje uvodim [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] kao smenu za ove sto je u imeniocu i radim ga kao tablicni integral? Jel ima neki drugi pristup mozda? Hvala na utrosenom vremenu

Jesu ista rešenja uz korišćenje osobina logaritama, tj. razlika dva logaritma je količnik istih logaritama.
A broj ispred logaritma se "penje" u eksponent.
I ne znam čemu smene, ovo su ti tablični integrali, bitno je da ispred [inlmath]x[/inlmath] u linearnoj podintegralnoj funkciji nema koeficijenta, konstante ili kako god.