MATEMANIJA

Pozdrav zadatak glasi:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}[/dispmath]
nikako ne mogu da ga resim pokusao sam da napravim nekako da u imeniocu bude [inlmath]\sqrt{1-x^2}[/inlmath] jer je [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx=\arcsin x[/inlmath] ali ne da mi se da sredim ovu cetvorku,ne mogu da razdvajam imenilac.Generalno ovakav oblik integrala mi predstavlja problem pa bih cenio ako neko objasni. Hvala na vremenu

Dobro si uocio da ce biti nesto nalik [inlmath]\arcsin x[/inlmath]. Ne znam da li si upoznat sa Ojlerovom smenom tj. resavanjem integrala oblika [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C[/dispmath]
Sredi malo kvadratnu pod korenom i dovedi je u oblik [inlmath]a^2-x^2[/inlmath] , naravno napomena da je u ovom slucaju [inlmath]x^2[/inlmath] zapravo smena, bolje je napisati [inlmath]t^2[/inlmath]

Ovde ne mogu da odolim da se ne umešam.
dao sam thanks Herien Wolf-u i u pravu je ali ovo ne zahteva Ojlerovu smenu.
Što bi rekao kolega Onomatopeja zašto topom pucati na komarca, ili tako nešto, mislim da nisam dobro citirao.

Najprostije je svesti potkorenu veličinu na:
[dispmath]5-\left((x-2)^2\right)[/dispmath]
Potom naći takoreći tablični integral:
[dispmath]\arcsin\left(\frac{x-2}{\sqrt5}\right)+C[/dispmath]
p.s. Spremam tutorijal na temu integracije iracionalnih funkcija i ovo mi je bio jedan od elementarnih primera. Znaju kolege iz moderatorskog tima da sam davno "zapretio" tim tutorijalom, no nikako da ga završim i postujem, ne stižem.

Mala ispravka integrala
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}dx[/dispmath]

Herien Wolf je napisao:Dobro si uocio da ce biti nesto nalik [inlmath]\arcsin x[/inlmath]. Ne znam da li si upoznat sa Ojlerovom smenom tj. resavanjem integrala oblika [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C[/dispmath]

Cek malo ovo otvara potpuno nove horizonte [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin\frac{x}{1}+C[/inlmath] sto znaci da kada dobijem jedncinu pod korenom ako potkorenu velicinu svedem na [inlmath]\sqrt{a^2-b^2}[/inlmath] mogu da se pozovem na integraciju [inlmath]\frac{\mathrm db}{\sqrt{a^2-b^2}}[/inlmath] i dobijem [inlmath]\arcsin\frac{b}{a}[/inlmath]
Isto bi trebalo da vazi i kad je arkus tagens u pitanju [inlmath]\text{arctg }\frac{x}{1}=\frac{\mathrm dx}{1+x^2}[/inlmath] ako se integral svede na [inlmath]\frac{\mathrm db}{a^2+b^2}=\text{arctg }\frac{b}{a}[/inlmath] naravno [inlmath]a[/inlmath] je konstanta [inlmath]b[/inlmath] je smena. Hvala na objasnjenjima .

Kod arkus sinusa jeste ovako:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+c[/dispmath]
a kod ovog drugog - arkus tangensa, ako se ne varam, imamo:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\text{arctg }\frac{x}{a}+c[/dispmath]

[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}[/dispmath]
Slucaj kada je [inlmath]a>0[/inlmath] integral se svodi na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^2+k^2}}[/inlmath], a za [inlmath]a<0[/inlmath] na integral oblika [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{k^2-t^2}}[/inlmath]

A za drugi deo tvoje poruke
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\int\frac{\mathrm dx}{a^2\cdot\left(1+\left(\frac{x}{a}\right)^2\right)}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}[/dispmath]
uvodimo smenu [inlmath]t=\frac{x}{a}\;\Rightarrow\;x=t\cdot a[/inlmath]
[inlmath]\mathrm dx=a\,\mathrm dt[/inlmath]
Sad samo zamenis u pocetni integral tj.
[dispmath]\frac{1}{a^2}\int\frac{\mathrm a\,\mathrm dt}{1+t^2 }=\frac{1}{a}\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\frac{1}{a}\text{arctg }t+C=\frac{1}{a}\text{arctg }{\frac{x}{a}}+C[/dispmath]

Batonja je napisao:Mala ispravka integrala
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}dx[/dispmath]

Ti si ga prvobitno i bio napisao tako, ali sam to shvatio kao grešku u kucanju pa sam zato ispravio, ne pitajući te.
Pod integralom ne možeš imati dva diferencijala.
Znači, ako ti se [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] već pojavljuje u brojiocu razlomka, ne može se pojavljivati i nakon razlomka.
Dakle, može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}[/inlmath] i može [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath], ali ne može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath].
Ako ti je u knjizi/zbirci/svesci zaista napisano ovako kako si ti napisao, onda je to greška.

---

Što se tiče pitanja u vezi s arkus sinusom i arkus tangensom, Herien Wolf ti je to pokazao koristeći smenu. Moguće je to pokazati i bez smene:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{\mathrm dx}{a\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\int\frac{\frac{1}{a}\,\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{a}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+c[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\int\frac{\mathrm dx}{a^2\left[1+\left(\frac{x}{a}\right)^2\right]}=\frac{1}{a}\int\frac{\frac{1}{a}\,\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{1}{a}\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{a}\right)}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{1}{a}\text{arctg }\frac{x}{a}+c[/dispmath]

Daniel je napisao:Dakle, može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}[/inlmath] i može [inlmath]\int\frac{1}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath], ali ne može [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+4x-x^2}}\,\mathrm dx[/inlmath].

Pojavljuje se tako u zbirci i to 2 puta u zadacima za vezbu pa sam zato mislio da moze da dodje u obzir,uvodio sam neku smenu za izraz ispod i za ceo koren da bih nekako zajedno integrirao [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] ali bezuspesno(znam da moram da zamenim sve [inlmath]x[/inlmath]-eve kad pravim smenu ali morao sam da probam sve sto mi padne na pamet ) , video sam da je greska nakon sto mi je Herien pokazao ovo uvodjenje smene,onda sam probao samo sa jednim [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i dobio resenje kao u zbirci.Hvala na pojasnjenjima

Pozdrav da ne otvaram novu temu jel ako moze neko da mi napise da li su ovo ista resenja:
[dispmath]3\cdot\ln|x+2|-2\cdot\ln|x+3|+c[/dispmath]
i
[dispmath]\ln\frac{|x+3|^3}{(x+2)^2}+c[/dispmath]
Prvo resenje je moje a drugo daje zbirka u pitanju je sledeci integral
[dispmath]\int\frac{x}{x^2+5x+6}\,\mathrm dx[/dispmath]
Radio sam preko metode neodredjenih koeficijenata
[inlmath]\int\frac{x}{(x+3)\cdot(x+2)}\,\mathrm dx[/inlmath]

[inlmath]\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}[/inlmath]

[inlmath]\frac{A\cdot(x+2)+B\cdot(x+3)}{(x+3)\cdot(x+2)}[/inlmath]

[inlmath]\frac{x\cdot(A+B)+(2A+3B)}{(x+3)\cdot(x+2)}=\frac{x}{(x+2)\cdot(x+3)}[/inlmath]

[inlmath]A+B=1[/inlmath]

[inlmath]2A+3B=0[/inlmath]

[inlmath]A=3;\;B=-2[/inlmath]

[inlmath]-2\int\frac{1}{x+2}\,\mathrm dx+3\int\frac{1}{x+3}\,\mathrm dx[/inlmath]
dalje uvodim [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] kao smenu za ove sto je u imeniocu i radim ga kao tablicni integral? Jel ima neki drugi pristup mozda? Hvala na utrosenom vremenu

Jesu ista rešenja uz korišćenje osobina logaritama, tj. razlika dva logaritma je količnik istih logaritama.
A broj ispred logaritma se "penje" u eksponent.
I ne znam čemu smene, ovo su ti tablični integrali, bitno je da ispred [inlmath]x[/inlmath] u linearnoj podintegralnoj funkciji nema koeficijenta, konstante ili kako god.

Naravno, pretpostavljam da je ovo samo greška u kucanju,

Batonja je napisao:[dispmath]3\cdot\ln|x+{\color{red}2}|-2\cdot\ln|x+{\color{red}3}|+c[/dispmath]

i da zapravo treba da bude [inlmath]3\cdot\ln|x+{\color{green}3}|-2\cdot\ln|x+{\color{green}2}|+c[/inlmath], što direktno i sledi iz zbira integrala koji si dobio, [inlmath]-2\int\frac{1}{x+2}\,\mathrm dx+3\int\frac{1}{x+3}\,\mathrm dx[/inlmath].

Zahvaljujem na odgovorima,imam jos jedan integral koji ne mogu da uradim tacno:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-4}}[/dispmath]
probao sam ga preko metode neodredjenih koeficijenata nije islo,onda sam probao da ga rastavim ovako
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\cdot\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{\frac{1}{x}\sqrt{x^2-4}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{x\mathrm dx}{\sqrt{x^2-4}}[/dispmath][dispmath]t=x^2-4[/dispmath][dispmath]\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{2x}[/dispmath][dispmath]\ln x+\int\frac{x\frac{\mathrm dt}{2x}}{\sqrt t}[/dispmath]
[inlmath]x[/inlmath]-evi se krate, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] ne mari za integral pa izlazi ispred
[dispmath]\ln x+\frac{1}{2}\cdot\ln{\sqrt{x^2-4}}[/dispmath]
po zbirci:
[dispmath]\ln\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)[/dispmath]
Hvala na utrosenom vremenu

Batonja je napisao:probao sam ga preko metode neodredjenih koeficijenata nije islo,onda sam probao da ga rastavim ovako
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\cdot\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}[/dispmath]

Kakvo je ovo rastavljanje?

Rastavljanje imenioca izgleda . Uvideo gresku zahvaljujem . Videcu da probam jos koji put da ga uradim stim da pazim na algebarske operacije .

Posle ponovnog pokusaja da resim ovaj integral dosao sam na ideju kako bi to trebalo da izgleda
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{(x-2)\cdot(x+2)}}[/dispmath][dispmath]\int\frac{\frac{1}{\sqrt{(x+2)}}}{\sqrt{(x-2)}}\,\mathrm dx+\int\frac{\frac{1}{\sqrt{(x-2)}}}{\sqrt{(x+2)}}\,\mathrm dx[/dispmath]
Ali mi se sad ne da da uvedem substituciju nikako, probao sam da uzmem celu potkorenu velicinu u imeniocu ali nikako ne uspevam onda da izgubim ovu drugu potkorenu velicinu u brojiocu, Zavhaljujem na utrosenom vremenu

To rastavljanje nije dobro (jer nemas u brojiocu [inlmath]2[/inlmath], a i pitanje domena same funkcije se menja), a i ne vidim kako bi nam pomoglo (i sam si to primetio).

Umesto toga, pokusaj smenom [inlmath]\displaystyle x=\frac{2}{\cos t}[/inlmath] (i opstije, da si imao [inlmath]x^2-a^2[/inlmath] pod korenom onda bi uzeo [inlmath]\displaystyle x=\frac{a}{\cos t}[/inlmath]). Alternativno, mogao bi da pokusas i smenom [inlmath]x=2\,\text{ch }t[/inlmath] (jasno je sta bi stavio u opstem slucaju).

[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{\sqrt{4\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2-1\right)}}\,\mathrm dx=\Bigg(\text{smjena: }\frac{x}{2}=t\Bigg)[/dispmath][dispmath]\int\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt=\Bigg(\text{smjena: }\sqrt{t^2-1}=z-t;\\
z=\sqrt{t^2-1}+t;\\
\mathrm dz=\frac{t+\sqrt{t^2-1}}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt=\frac{z}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt\\
\frac{\mathrm dz}{z}=\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt\Bigg)[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dz}{z}=[/dispmath]
(tablični integral, vratis smjene i to je to)


PS. Da li je moguće kako u Wolfram Mathematica programu ovo otkucati pa prebaciti u Latex ?

Zahvaljujem na objasnjenju "xyz" ako bi mogao samo malo da mi pojasnis oko ove druge smene kako znas da treba da uvedes za smenu [inlmath]z-t[/inlmath] umesto samog [inlmath]z[/inlmath] kako da znam kad uvodim ovakvu smenu?

xyz je napisao:[dispmath]\text{smjena: }\sqrt{t^2-1}=z-t;\\
z=\sqrt{t^2-1}+t;[/dispmath]

Zašto se ovde komplikuje?
Po Demidoviču, po Ljašku, po Merkleu i Šamiju i po još bar hiljadu autora ovo je tablični integral:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+c[/dispmath]

I mi smo integral
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm1}\right|+C[/dispmath]
računali kao tablični, a može se i dokazati na način koji sam gore naveo.

Što se tiče pitanja koju smjenu odabrati, po meni je to stvar intuicije i vježbe .

desideri je napisao:Zašto se ovde komplikuje?
Po Demidoviču, po Ljašku, po Merkleu i Šamiju i po još bar hiljadu autora ovo je tablični integral

Neki profesori ne dopustaju da se ovo koristi kao tablicni integral. Tako sam ja bar cuo. Da li je istina, ne znam. Ja sam mogao da ga koristim kao tablicni (tj. moja profesorka matematike je dopustala), a cak sam i trazio njegovo izvodjenje u ovoj temi.

Svakako nije na odmet provezbati integral i ovako, ali @Batonja ako se dopusta koriscenje ovog integrala kao tablicnog onda nema razloga da komplikujes.

Batonja je napisao:kako znas da treba da uvedes za smenu [inlmath]z-t[/inlmath] umesto samog [inlmath]z[/inlmath] kako da znam kad uvodim ovakvu smenu?

xyz je napisao:[dispmath]\text{smjena: }\sqrt{t^2-1}=z-t;\\
z=\sqrt{t^2-1}+t;[/dispmath]

To je tzv. Ojlerova smena.

Ilija je napisao:Neki profesori ne dopustaju da se ovo koristi kao tablicni integral. Tako sam ja bar cuo. Da li je istina, ne znam.

Potvrđujem, na osnovu ličnog iskustva (Matematička gimnazija – doduše, pre dosta vremena).
Svakako ne bih korisnicima preporučio da ovaj integral olako tretiraju kao tablični, dok prethodno ne provere sa svojim profesorom.

Nikada nisam pamtio te „tablicne“ integrale, ali sam zato pamtio postupke za njihovo resavanje (a to mi je bilo i bitnije, ideje). Naravno, vremenom sam i zapamtio vecinu tih tablicnih, tj. njihove rezultate, ali to nije bila stvar volje, vec njihove ceste upotrebe.

Pa dobro, stvar odluke profesora.
Na Matemaniji u Danielovom tutorijalu koji je super nije naveden ovaj integral koji sam pomenuo kao tablični.
Prema tome, zvaničan stav Matemanije je da nije tablični.
To sam zaključio iz postova kolega iz moderatorskog tima i postova zaslužnih korisnika, kao i svih ostalih korisnika.
Izdvajam svoje mišljenje i tvrdim da je tablični.
No svakako proverite kod predmetnog profesora.
Ilija je baš u pravu.

Licno ne volim da pamtim tablicne integrale tj da ih ucim napamet u potpunosti se slazem sa ovom konstatacijom ako smem da se pozovem na citat

Onomatopeja je napisao:Nikada nisam pamtio te „tablicne“ integrale, ali sam zato pamtio postupke za njihovo resavanje (a to mi je bilo i bitnije, ideje).

Iz tog razloga mi je drazi ovaj postupak koji je naveo "xyz". @Daniel skapirao sam smenu zahvaljujem na uputama .
Inace ako mi dodje [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm1}}[/inlmath] na prijemnom a ne setim se da uvedem smenu, trebalo bi da se setim da pitam jel mogu da ga gledam kao tablicni .

Moze li mi neko reci kako na najjednostavniji nacin da resim integral od (x+2) / (x^2 - 2x) ....
Pokusavali smo preko parcijalne integracije, metoda smene...i ne ide.

Molim te da koristiš Latex, onako kako ga (što si i mogao uočiti) koriste i ostali članovi. A i kako je predviđeno tačkom 13. Pravilnika.

Ovo je integral racionalne funkcije, i takvi integrali su obrađeni u ovoj temi, koju ti preporučujem da proučiš. Ukoliko i nakon toga budeš imao neko pitanje oko ovog konkretnog integrala, najbolje je da ga u toj temi i postaviš.

Ja sam novi ovde pa se nadam da ce te imati malo razumevanja dok se ne uhodam malo.Imam problem sam jednim integralom pa se nadam da ce neko da pomogne.Naizgled izgleda trivijalno,ali eto ubih se i nikako ne mogu da dobije tacno resenje iako sam blizu gresim u nekoji sitnici.Integral glasi ovako:

integral dx/x*(1+x^2)^1/2

Nejasna je postavka zadatka jer nije korišćen Latex (tačka 13. pravilnika foruma).
Molim te da postaviš zadatak pravilno, jer mi je ovako polujasno.
Ako je ono što mislim, pomnoži brojilac i imenilac s [inlmath]x[/inlmath] i uvedi smenu: [inlmath]x^2+1=t^2[/inlmath]

@Miroslav
U redu, prihvatam izvinjenje, tako da ti neću dirati post, iako ovako napisane postove uklanjamo.
Uputiću te da pročitaš Pravilnik foruma, u njemu je precizirano kako pitanja na ovom forumu treba postavljati.
Tačkom 13. je predviđena obavezna upotreba Latexa, kako bi matematički izrazi bili pregledni i nedvosmisleni. Da li ovaj integral koji si napisao treba ovako da glasi? [inlmath]\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{1+x^2}}[/inlmath]
Tačkom 6. je predviđeno da treba da pokažeš na koji način si pokušavao da rešiš zadatak. Pošto kažeš da grešiš u nekoj sitnici, možemo li videti kako si radio, kako bismo ti mogli reći i koje su to sitnice?

Budući da držimo i do pravilnog pisanja na forumu (tačka 5), dve sugestije:

• ćete se piše spojeno (jer je to skraćeni oblik od hoćete);
• nakon tačke i nakon zareza, a pre naredne rečenice/reči, uvek ide razmak.

P.S. Videh sad da je u međuvremenu Desideri (sasvim ispravno) odgvorio.

Pošto znam da moderatorski tim toleriše prvi post korisnika, ja te pitam da li je postavka ovakva:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+1}}[/dispmath]Onda je moj hint apsolutno opravdan.