MATEMANIJA

Dirakova delta distribucija je definisana kao:


[inlmath]f(t_0)=\int\limits_{-\infty}^\infty\!f(t)\delta(t-t_0)\,\mathrm dt[/inlmath] gdje [inlmath]f(t)[/inlmath] predstavlja glatku funkciju.

a) Izračunaj furijeovu transformaciju [inlmath]\hat\delta(\omega)[/inlmath] od [inlmath]\delta(t-t_0)[/inlmath]

Rješenje:
[dispmath]\hat\delta(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty\!\delta(t-t_0)e^{-j\omega t}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\hat\delta(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-j\omega t_0}[/dispmath]
Pitanje: Nije mi bas jasno ovo rješenje. Da li je ovdje korišteno ovo pravilo:

[inlmath]\int\limits_a^b\!\delta(t)\,\mathrm dt\;\Rightarrow\;\begin{cases}
1 & \text{ako }a<0<b,\\
0 & \text{ako je suprotno}
\end{cases}[/inlmath]
Ako da, odakle je došlo [inlmath]t_0[/inlmath] u rješenje?

b) Pokaži povratnu furijeoivu transformaciju od [inlmath]\hat\delta(\omega)[/inlmath] da vrijedi [inlmath]\delta(t-t_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\!e^{j\omega(t-t_0)}\,\mathrm d\omega[/inlmath].

Pitanje: Ovdje nemam nikakvu ideju. Nadam se da mi neko moze pomoci.

choco je napisao:Rješenje:
[dispmath]\hat\delta(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty\!\delta(t-t_0)e^{-j\omega t}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\hat\delta(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-j\omega t_0}[/dispmath]
Pitanje: Nije mi bas jasno ovo rješenje.

Mene zbunjuje ovo [inlmath]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/inlmath] ispred integrala. Ja znam za definiciju Furijeove transformacije koja glasi [inlmath]F(j\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt[/inlmath] (znači, bez [inlmath]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/inlmath]), dok se [inlmath]\frac{1}{2\pi}[/inlmath] (ali bez korena) pojavljuje u izrazu za inverznu Furijeovu transformaciju, [inlmath]f(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}\mathrm d\omega[/inlmath].
Ja ću raditi po toj definiciji bez [inlmath]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/inlmath], a slična priča bi bila i ako bismo imali taj deo.

choco je napisao:Da li je ovdje korišteno ovo pravilo:

[inlmath]\int\limits_a^b\!\delta(t)\,\mathrm dt\;\Rightarrow\;\begin{cases}
1 & \text{ako }a<0<b,\\
0 & \text{ako je suprotno}
\end{cases}[/inlmath]
Ako da, odakle je došlo [inlmath]t_0[/inlmath] u rješenje?

Da, korišćeno je to pravilo. Dakle, Dirakov impuls [inlmath]\delta(t)[/inlmath] možeš posmatrati kao pravougaonik beskonačno male širine i beskonačno velike visine, takvog da je njegova površina jednaka jedinici. Znači, svuda van tog impulsa (za [inlmath]t\ne0[/inlmath]) vrednost funkcije je jednaka nuli, dok u trenutku impulsa ([inlmath]t=0[/inlmath]) vrednost teži beskonačnosti, a pošto integral predstavlja površinu ispod krive a Dirakov impuls posmatramo kao granični slučaj tog pravougaonika površine [inlmath]1[/inlmath], tada je integral od bilo koje vrednosti pre Dirakovog impulsa do bilo koje vrednosti posle Dirakovog impulsa – jednak jedinici.
U tvom primeru to bi se radilo na sledeći način. Imamo, dakle:
[dispmath]\hat\delta(\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(t-t_0)e^{-j\omega t}\mathrm dt[/dispmath]
i ako sada primeniš formulu koju si napisala na samom početku, [inlmath]f(t_0)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-t_0)\,\mathrm dt[/inlmath], gde je [inlmath]f(t)=e^{-j\omega t}[/inlmath], odmah se dobija [inlmath]\hat\delta(\omega)=e^{-j\omega t_0}[/inlmath].

Može se i bez upotrebe te formule, ako rezonujemo ovako: za bilo koju vrednost [inlmath]t-t_0[/inlmath] koja je različita od nule (tj. kada je [inlmath]t\ne t_0[/inlmath]), vrednost [inlmath]\delta(t-t_0)[/inlmath] biće jednaka nuli, pa će i podintegralna veličina biti jednaka nuli. Dakle, nenultu vrednost podintegralne veličine imamo samo onda kada je [inlmath]t-t_0=0[/inlmath] (tj. kada je [inlmath]t=t_0[/inlmath]), a tada je [inlmath]e^{-j\omega t}[/inlmath] jednako [inlmath]e^{-j\omega t_0}[/inlmath], pa se integral tada svodi na [inlmath]\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(t-t_0)e^{-j\omega t_0}\,\mathrm dt[/inlmath], nakon čega [inlmath]e^{-j\omega t_0}[/inlmath] kao konstantu možemo izvući ispred integrala, pa imamo [inlmath]e^{-j\omega t_0}\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(t-t_0)\,\mathrm dt[/inlmath], pri čemu znamo da je vrednost integrala [inlmath]\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(t-t_0)\,\mathrm dt[/inlmath] jednaka jedinici, zbog pomenute osobine Dirakovog impulsa (granični slučaj pravougaonika površine [inlmath]1[/inlmath]).

Prema tome, ostaje samo [inlmath]\hat\delta(\omega)=e^{-j\omega t_0}[/inlmath] (opet, kažem, bez onog [inlmath]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[/inlmath], kojeg, na osnovu definicije koju ja znam, ne bi trebalo tu da bude).

choco je napisao:b) Pokaži povratnu furijeoivu transformaciju od [inlmath]\hat\delta(\omega)[/inlmath] da vrijedi [inlmath]\delta(t-t_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\!e^{j\omega(t-t_0)}\,\mathrm d\omega[/inlmath].

Pitanje: Ovdje nemam nikakvu ideju. Nadam se da mi neko moze pomoci.

Pošto je malopre pokazano da je Furijeova transformacija od [inlmath]\delta(t-t_0)[/inlmath] jednaka [inlmath]e^{-j\omega t_0}[/inlmath], odatle sledi da će inverzna Furijeova transformacija od [inlmath]e^{-j\omega t_0}[/inlmath] biti jednaka [inlmath]\delta(t-t_0)[/inlmath].
To znači (koristeći izraz za inverznu Furijeovu transformaciju, [inlmath]f(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}\mathrm d\omega[/inlmath], u kojem je [inlmath]f(t)=\delta(t-t_0)[/inlmath] i [inlmath]F(j\omega)=e^{-j\omega t_0}[/inlmath]) da je:
[dispmath]\delta(t-t_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-j\omega t_0}e^{j\omega t}\mathrm d\omega[/dispmath]
a to je onda jednako
[dispmath]\delta(t-t_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{j\omega(t-t_0)}\mathrm d\omega[/dispmath]