MATEMANIJA

Poštovani, može li mi neko objasniti i dati smernice kako da odradim ovaj nesvojstveni integral druge vrste
[dispmath]\int\limits_0^t\frac{e^x-1-x}{x^2}\,\mathrm dx[/dispmath]
znam da ako ga razdvojim na sumu integrala svaki integral će divergirati, takođe limes podintegralne funkcije postoji i jednak je jednoj polovini što znači da ovaj nesvojstveni integral konvergira, to je sve što znam o njemu!

Tačan ti je limes podintegralne funkcije, proverio sam.
Ja bih ovo radio parcijalnom integracijom, pri čemu je ceo brojilac zapravo [inlmath]u[/inlmath] i ostalo [inlmath]\mathrm dv[/inlmath].
Dobija se jednostavniji integral.
Vodi računa da su u domenu elementarnih funkcija nerešivi integrali tipa:
[dispmath]\int\limits_0^t\frac{e^x}{x^2}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\limits_0^t\frac{e^x}{x}\,\mathrm dx[/dispmath]
itd.

Pa baš u tome i jeste problem, što se parcijalnom integracijom svodi na takve elementarne funkcije čini integrali na datom intervalu divergiraju, probao sam parcijalnu ali ništa nisam postigao jer nove funkcije koje sam dobio takođe imaju problem sa konvergencijom. Da li imate neku drugu ideju?

Ovaj integral ne moze eksplicitno da se izracuna pa mislim da zadatak uopste nije izracunati vec dokazati da konvergira tj. da postoji.
Kako je funkcija neprekidna na [inlmath]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath] ona je i Riman integrabilna. Sto se tice tacke [inlmath]x=0[/inlmath] tu vazi:
[dispmath]\frac{e^x-1-x}{x^2}\sim\frac{1}{2}\quad(x\to0)[/dispmath]
A [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] je integrabilna kao konstanta funkcija. Iz svega toga zakljucujemo da integral konvergira. Ovo je prividni singularitet jer se funkcija moze dodefinisati da bude neprekidna na celom [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]

Ovaj integral je samo deo većeg zadatka, sumiranja niza, tako da je poenta izračunati integral, da bi sumiranje bilo potpuno.
Tako da verujem da se integral ipak može rešiti na neki način...

Pa mogao bi da napises taj veci zadatak. Jedino sto jos ovde moze da se uradi je da se [inlmath]e^x[/inlmath] razvije u stepeni red pa da se onda on integrali.
Trebalo bi uvek da napises ceo zadatak kako tacno glasi jer meni ili nekom drugom nista ne znaci sto ti trazis da se "resi" integral koji ne moze da se resi.

U pravu ste, ipak integral ne može da se reši, svim mogućim postupcima opet na kraju ostane deo koji nema rešenje.
Tačno je da može da se reši u samom zadatku prelaskom na stepeni red, ali sam ipak mislio da integral može imati rešenje jer konvergira.
Hvala svima na uloženom trudu, sugestije su mi dosta pomogle!

A mozda i moze da se resi (mislim na ceo zadatak, koji nemamo), jer mozda i nije potrebno da se eksplicitno resi sam integral da bismo resili taj ceo zadatak.

@Trougao: kada si govorio da Riman integrabilnost funkcije sledi iz neprekidnosti, onda si verovatno mislio da je Riman integrabilna na svakom segmentu [inlmath][0,t][/inlmath] (gde [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath]). To cisto isticem da neko iz tvog posta ne pomisli da je funkcija Riman integrabilna na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] (posto to nije tacno).

Naravno. Rimanov integral se definise samo na segmentu.

Može se rešiti, to nije sporno, mene je zanimao samo ovaj integral kao posebna celina!
Ali sve je sad razjašnjeno do tančina!
Hvala svima.

Super. Ali, kako prethodnici već i rekoše, molim ubuduće za kompletan tekst zadatka, kako ne bismo trošili vreme nagađajući oko ovakvih delova zadataka.
Kao što, uostalom, kaže i tačka 11. Pravilnika.