MATEMANIJA

Imam problem sa sledećim zadatkom:

Deleći interval integracije tako da apscise deonih tačaka obrazuju geometrijski niz, pokazati da je:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x^2}=\ln2.[/dispmath] Šta sam ja dosad uradio:

Umetnuo sam [inlmath]m[/inlmath] brojeva između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], kako bi obrazovali potrebnu podelu. Dobio sam sledeću podelu [inlmath]P_n[/inlmath]:
[inlmath]P_n:\;1,2^\frac{1}{n},2^\frac{2}{n},\ldots,2^\frac{n-2}{n},2^\frac{n-1}{n},2.[/inlmath]
U svakoj podeli je razlika drugog i prvog člana najveća od svih razlika između susednih apscisa, pa je [inlmath]\lambda_n=\sqrt[n]2-1[/inlmath]. Niz ovih razlika teži nuli kada [inlmath]n[/inlmath] teži ka beskonačnom.

U [inlmath]n[/inlmath]-toj podeli sam za proizvoljnu tačku iz svakog podeoka [inlmath]\left(\sqrt[n]{2^i},\sqrt[n]{2^{i+1}}\right][/inlmath], uzeo tačku [inlmath]\xi_i=\sqrt[n]{2^{i+1}}[/inlmath], gde je [inlmath]i=1,2,\ldots,n-1[/inlmath]. Sada sam dobio sledeći integralnu sumu [inlmath]\sigma_n[/inlmath]:
[inlmath]\sigma_n=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}\cdot\left(\sqrt[k]{2^{i+1}}-\sqrt[k]{2^i}\right)=\cdots=n-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].

Granična vrednost dobijene integralne sume kad [inlmath]n[/inlmath] teži ka beskonačnom nije [inlmath]\ln2[/inlmath]. Molim vas da mi kažete gde sam sve pogrešio.

Gogele je napisao:Deleći integral integracije

Greška u kucanju, pretpostavljam. Ispravio sam ti.

Gogele je napisao:pokazati da je:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x^2}=\ln2.[/dispmath]

Ovaj integral nije jednak [inlmath]\ln2[/inlmath], već je jednak [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
Ukoliko integral zapravo glasi [inlmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] (bez kvadrata u imeniocu), tada rešenje jeste [inlmath]\ln2[/inlmath] i taj zadatak smo već imali u ovoj temi.

Gogele je napisao:U svakoj podeli je razlika drugog i prvog člana najveća od svih razlika između susednih apscisa,

Ne, upravo obrnuto. Ukoliko je u pitanju geometrijski niz kod kojeg je količnik veći od jedinice (kao što ovde jeste slučaj), razlika drugog i prvog člana je najmanja, dok je najveća razlika poslednjeg i pretposlednjeg člana.

Gogele je napisao:U [inlmath]n[/inlmath]-toj podeli sam za proizvoljnu tačku iz svakog podeoka [inlmath]\left(\sqrt[n]{2^i},\sqrt[n]{2^{i+1}}\right][/inlmath], uzeo tačku [inlmath]\xi_i=\sqrt[n]{2^{i+1}}[/inlmath], gde je [inlmath]i=1,2,\ldots,n-1[/inlmath].

[inlmath]i[/inlmath] treba da ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n-1[/inlmath].

Gogele je napisao:Sada sam dobio sledeći integralnu sumu [inlmath]\sigma_n[/inlmath]:
[inlmath]\sigma_n=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}\cdot\left(\sqrt[k]{2^{i+1}}-\sqrt[k]{2^i}\right)=\cdots=n-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].

Ne razumem kako si dobio dvostruku sumu.
U članu ispred zagrade, [inlmath]\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}[/inlmath], nisi kvadrirao imenilac (što je i u redu ako integral zapravo glasi [inlmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath]).

Daniel je napisao:Ukoliko integral zapravo glasi [inlmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] (bez kvadrata u imeniocu), tada rešenje jeste [inlmath]\ln2[/inlmath] i taj zadatak smo već imali u ovoj temi.

To je taj zadatak. Ja sam pogrešno otkucao tekst.