MATEMANIJA

Moze objasnjenje kako se rade nesvojstveni integrali? Hvala unapred.

Rade se pomoću limesa.
Imaš dve vrste nesvojstvenih integrala, jedne je potrebno izračunati na intervalu kod kojeg leva, desna, ili obe granice teže beskonačnosti (nesvojstveni integrali prve vrste), a druge je potrebno izračunati na intervalu kod kojeg se prekidna tačka funkcije nalazi ili unutar intervala integracije, ili se nalazi u nekoj od granica tog intervala (nesvojstveni integrali druge vrste).

U svim ovim slučajevima pusti se da odgovarajuća granica integraljenja teži ka toj „kritičnoj“ vrednosti.

Nije baš jednostavno ovako objasniti, biće lakše ako daš neki konkretan primer, tj. zadatak.

Pozdrav..ovo je nadovezivanje na temu o nesvojstvenim integralima(i prvi pokusaj koriscenja Latexa [inlmath]\displaystyle\underset{\left(0,1\right]}{\int}\frac{x+2}{x^5+x}\mathrm dx[/inlmath]).
Ono sto je neki cilj razmisljanja jeste posmatranje podintegralne f-je.Odnosno pustanje limesa te funkcije.Zanima me kako se bira tacka u kojoj se pusta limes(ako je to dobar put).
Kakva je razlika u nacinu rada(koracima) ako je u pitanju integral prve vrste ili druge vrste?

Student1 je napisao:Zanima me kako se bira tacka u kojoj se pusta limes(ako je to dobar put).

U ovom integralu podintegralna funkcija neće biti definisana onda kada je imenilac jednak nuli, a to će biti slučaj kada je [inlmath]x=0[/inlmath]. Upravo ta tačka [inlmath]x=0[/inlmath] predstavlja jednu od granica na kojoj se vrši integraljenje, dok je za ostale vrednosti [inlmath]x[/inlmath] unutar intervala integracije funkcija definisana. Zbog toga je potrebno da integraciju vršimo ne od nule, već od neke vrednosti [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath], pa do vrednosti [inlmath]1[/inlmath], nakon čega, tj. kad odredimo vrednost tako određenog integrala u zavisnosti od [inlmath]\varepsilon[/inlmath], posmatramo limes kada [inlmath]\varepsilon\to0^+[/inlmath]. Dakle,
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{x+2}{x^5+x}\mathrm dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int\limits_\varepsilon^1\frac{x+2}{x^5+x}\mathrm dx[/dispmath]

Student1 je napisao:Kakva je razlika u nacinu rada(koracima) ako je u pitanju integral prve vrste ili druge vrste?

Kod integrala prve vrste bar jedna od granica integraljenja teži beskonačnosti. Imaš tri slučaja:

• Donja granica teži [inlmath]-\infty[/inlmath]:
  [dispmath]\int\limits_{-\infty}^bf\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{a\to-\infty}\int\limits_a^bf\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
• Gornja granica teži [inlmath]+\infty[/inlmath]:
  [dispmath]\int\limits_a^{+\infty}f\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_a^bf\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
• Donja granica teži [inlmath]-\infty[/inlmath] i gornja granica teži [inlmath]+\infty[/inlmath], tada integral rastavljamo na dva nesvojstvena integrala, čime ćemo dobiti dva limesa:
  [dispmath]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)\mathrm dx=\int\limits_{-\infty}^cf\left(x\right)\mathrm dx+\int\limits_c^{+\infty}f\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{a\to-\infty}\int\limits_a^cf\left(x\right)\mathrm dx+\lim_{b\to+\infty}\int\limits_c^bf\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]

gde je [inlmath]c[/inlmath] neka proizvoljno odabrana vrednost.
Znači, u sva ova tri slučaja prvo odredimo vrednost integrala za tako postavljene konačne granice, nakon čega tražimo limes kada određena granica teži beskonačnosti.

---

Što se tiče nesvojstvenih integrala druge vrste, primer koji si dao predstavlja upravo jedan takav integral. Kod nesvojstvenih integrala druge vrste tačka u kojoj funkcija nije definisana može se naći na nekoj od granica integraljenja, ili unutar intervala integraljenja:

• Funkcija nije definisana na donjoj granici integraljenja (kao što je slučaj u tvom primeru):
  [dispmath]\int\limits_a^bf\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int\limits_{a+\varepsilon}^bf\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
• Funkcija nije definisana na gornjoj granici integraljenja:
  [dispmath]\int\limits_a^bf\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int\limits_a^{b-\varepsilon}f\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
• Funkcija nije definisana u nekoj tački [inlmath]c[/inlmath], koja se nalazi unutar intervala integraljenja, [inlmath]c\in\left(a,b\right)[/inlmath] – tada integral rastavljamo na dva integrala:
  [dispmath]\int\limits_a^bf\left(x\right)\mathrm dx=\int\limits_a^cf\left(x\right)\mathrm dx+\int\limits_c^bf\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int\limits_a^{c-\varepsilon}f\left(x\right)\mathrm dx+\lim_{\varepsilon\to0^+}\int\limits_{c+\varepsilon}^bf\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]

Dovoljno je primetiti da na [inlmath](0,1][/inlmath] vazi
[dispmath]0<\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}\le\frac{2}{x(x^4+1)}<\frac{x+2}{x^5+x},[/dispmath]
te na osnovu poredbenog kriterijuma zakljucujemo da i nas integral divergira (jer integral [inlmath]\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x}\,dx[/inlmath] divergira (sto se da lako proveriti)).

Ovo namestanje na funkciju [inlmath]\displaystyle\frac{1}{x}[/inlmath] je poteklo iz toga sto je [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0^+}\displaystyle\frac{\frac{x+2}{x^5+x}}{\frac{1}{x}}=2[/inlmath] (tj. konacno). Naravno, to je bilo dovoljno, ali eto, hteo sam da idem samo na nejednakosti.

Hvala na odgovorima..

Mislim da nije nekorisno da i ja postavim jedan zadatak u okviru ove teme.
Smišljao sam ga ja, no moguće je da ima sličnih primera u literaturi.
Evo nesvojstvenog integrala ujedno i prve i druge vrste:
[dispmath]\int\limits_0^{+\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)e^{-x}\mathrm dx[/dispmath]
Rastavio sam ga na dva integrala:
[dispmath]\int\limits_0^{+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-x}\mathrm dx+\int\limits_0^{+\infty}\left(\frac{1}{x^2}\right)e^{-x}\mathrm dx[/dispmath]
Potom sam samo na prvi integral primenio parcijalnu integraciju, ne dirajući drugi. To je poznat trik.
Uz poštovanje svih pravila, limesa itd u prethodnim postovima.
Dobio sam da se integrali skrate, uz izvestan "kusur":
[dispmath]-\frac{e^{-x}}{x}[/dispmath]
Ovde se zameni gornja granica tj [inlmath]\infty[/inlmath] (limes, naravno) i dobije se [inlmath]0[/inlmath].
Potom se zameni donja granica tj [inlmath]0[/inlmath] i dobije se [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ovo zbog dva minusa, od rezultata i od donje granice.
Integral divergira.
Da li sam u pravu?