MATEMANIJA

Izracunati integral [inlmath]I=\iint\limits_{S^+}x^3\,\mathrm dy\,\mathrm dz+y^3\,\mathrm dx\,\mathrm dz+z^3\,\mathrm dx\,\mathrm dy[/inlmath] po spoljnoj strani omotaca konusa [inlmath]K\colon x^2+y^2\le z^2;\;0\le z\le1[/inlmath]. E sad, ja sam pokusao da radim pomocu Stoksove teoreme, ali ne znam da li dobro odredjujem polozaj normale. Izracunam kosinuse uglova, zamijenim, ali nekako mi se cini da nije dobro. Kako biste vi radili?

Kako je jednacina ovog omotaca eksplicitno data (naime, kako je [inlmath]z\ge0[/inlmath] to znamo kako tu glasi jednacina konusa) sa [inlmath]z=z(x,y)[/inlmath], [inlmath](x,y)\in D[/inlmath], gde je [inlmath]D[/inlmath] projekcija na [inlmath]Oxy[/inlmath] ravan, to je normala data sa [inlmath]\vec{n}=(-z'_x,-z'_y,1)[/inlmath]. Posto nas interesuje spoljna strana omotaca, a [inlmath]\vec{n}[/inlmath] gradi ostar ugao sa pozitivnim delom [inlmath]z[/inlmath]-ose, to cemo za vektor normale uzeti [inlmath]-\vec{n}=(z'_x,z'_y,-1)[/inlmath] (jer zelimo da je ugao tup). Dalje se radi standardno, uvrstimo parametrizaciju i pomnozimo skalarno sa ovim poslednjim vektorom normale, cime integral svodimo na dvojni integral po skupu [inlmath]D[/inlmath].

Ne vidim potrebu za petljanje Stoksa ovde.

Znaci radim kao povrsinski integral druge vrste?

Pa naravno da radis. Tako ti je integral i zapisan (tj. data diferencijalna forma), a i sto bi ti govorili da je u pitanju spoljna strana konusa. Nije mi malo jasno otkud sad takvo tvoje pitanje. Mozda ga nisam razumeo u potpunosti.

Pa neke zadatke smo radili pomocu Stoksove i teoreme Gaus-Ostrogradskog, i uvijek se zbunim kod oblasti. Hvala.

Stoksova teorema se obicno koristi u suprotnom smeru, da se racunanje krivolinijskog (neki bi rekli linijskog) integrala druge vrste svede na racunanje povrsinskog integrala druge vrste.

No, i Stoksova i teorema Gaus-Ostrogradskog su nam obicno od pomoci kad imamo neke „teske“ funkcije pod integralom, pa se njihovom primenom dobije dosta laksi (lepsi) integral.

Onako kako si postavio pitanje jeste zbunjujuce. Sada vidim da si hteo da pitas: da li radimo po definiciji. Da, radimo (bar ja jesam).

E hvala puno.