MATEMANIJA

Ne znam da rešim sledeći zadatak i nisam siguran da li je naslov teme odgovarajući:

Dokaži da za svaku neprekidnu funkciju [inlmath]f[/inlmath] važi:
[dispmath]\int\limits_0^\frac{\pi}{2}f\bigl(\cos(x)\bigr)\mathrm dx=\int\limits_0^\frac{\pi}{2}f\bigl(\sin(x)\bigr)\mathrm dx[/dispmath] Pošto funkcija neprekidna na odsečku ima određeni integral na tom odsečku, da li za date određene integrale postoje primitivne funkcije: [inlmath]F\bigl(\cos(x)\bigr)[/inlmath] i [inlmath]F\bigl(\sin(x)\bigr)[/inlmath]? Pokušao sam na brzinu pomoću tih funkcija da dođem do rešenja i nisam dobio tačan rezultat. Da sam dobio, opet mi ne bi bilo najjasnije zašto.

Pokušao sam da napravim da nemam sinus i kosinus u podintegralnom izrazu i mislim da to ne može da se uradi.

Molim vas da mi kažete kako se pristupa rešavanju ovog zadatka.

Iskoristi da je [inlmath]\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx=\int_a^bg(a+b-x)\,dx[/inlmath].

Oko tvog pitanja: postoje primitivne funkcije, no ne vidim zasto bi te funkcije morale da zavise od kosinusa/sinusa kako si opisao. Naravno, primitivne funkcije kao neodredjeni integral (rezultat odredjenog integrala je skalar, tj. broj).

Stavio sam da primitivne funkcije zavise od kosinusa i sinusa, zato što sam video da i podintegralni izraz zavisi od njih. Dakle, ne postoji teorijska osnova na osnovu koje sam sproveo taj postupak.

Onomatopeja je napisao:Iskoristi da je [inlmath]\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx=\int_a^bg(a+b-x)\,dx[/inlmath].

Kako se dokazuje ova jednakost?

Smenom [inlmath]x=a+b-t[/inlmath].

Daniel je napisao:Smenom [inlmath]x=a+b-t[/inlmath].

Dakle, ovu smenu sam probao i radi kada se krene sa leve strane jednakosti. Na kraju zamenim [inlmath]t[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath]. Može li se uraditi i kada se krene sa desne strane. Ja sam probao ovako:
[dispmath]\int\limits_a^bf(x)\,\mathrm dx=-\int\limits_b^af(x)\,\mathrm dx=\int\limits_b^af(x)(-\,\mathrm dx)[/dispmath] Zatim sam napravio smenu: [inlmath]a+b-t=x,\;\mathrm dt=-\,\mathrm dx,\;x(b)=a,\;x(a)=b[/inlmath]. Odatle dobijam:
[dispmath]\int\limits_a^bf(a+b-t)\,\mathrm dt=\int\limits_a^bf(a+b-x)\,\mathrm dx[/dispmath] Da li je ovo tačno? Nekako mi je smena rogobatna, jer ide "unazad".

Gogele je napisao:Dakle, ovu smenu sam probao i radi kada se krene sa leve strane jednakosti. Na kraju zamenim [inlmath]t[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath]. Može li se uraditi i kada se krene sa desne strane. Ja sam probao ovako:

Ovaj postupak koji si ti pokazao, to je upravo kad se krene s leve strane jednakosti. I za njega važi ta smena koju sam napisao, [inlmath]x=a+b-t[/inlmath].
Sve si OK uradio i ne vidim zašto misliš da je rogobatno. Nema greške ni u jednom koraku, dobije se na kraju ispravan rezultat.
Ako bismo krenuli s desne strane, tada bi smena bila ista, samo bi njen zgodniji zapis bio [inlmath]a+b-x=t[/inlmath].

Daniel je napisao:Ovaj postupak koji si ti pokazao, to je upravo kad se krene s leve strane jednakosti.

Izgleda da sam napravio lapsus. Kada sam krenuo da dokazujem sa desne strane koristio sam smenu [inlmath]t=a+b-x[/inlmath] i na kraju zamenio [inlmath]t[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath]. Sad razumem sve.