MATEMANIJA

Date su dve funkcije, [inlmath]f_1(x)=2\cdot x-x^2[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)=-x[/inlmath]. Ja sam našao da je površina figure ograničene sa ove dve funkcije jednaka [inlmath]\frac{13}{6}[/inlmath], dok na drugom mestu piše da je ta površina [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath].

Dobio sam sledeće:
Date funkcije se seku za [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath]. Za [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] je [inlmath]f_1(x)\ge-f_2(x)\ge0[/inlmath], za [inlmath]x\in[1,2][/inlmath] je [inlmath]-f_2(x)\ge f_1(x)\ge0[/inlmath] i za [inlmath]x\in[2,3][/inlmath] je [inlmath]-f_2(x)\ge-f_1(x)\ge0[/inlmath]. Dakle površina je zbir tri određena integrala:
[dispmath]\int\limits_0^1\left(2x-x^2-x\right)\mathrm dx+\int\limits_1^2\left(x-2x+x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_2^3\left(x+2x-x^2\right)\mathrm dx[/dispmath]
Možete li mi reći da li sam nešto prevideo i gde sam pogrešio?

Našao sam gde sam pogrešio. Ipak je površina [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath].

Jeste [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath]. Zašto ne bi časkom napisao, zbog drugih koji budu vežbali ovaj zadatak, u čemu je bila tvoja greška?

Zaboravio sam da formula [inlmath]\int\limits_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,\mathrm dx[/inlmath] važi i kada jedna ili obe funkcije nisu nenegativne na datom segmentu. Zato sam krenuo da po segmentima tražim kada je koja funkcija nenegativna i veća ili jednaka od one druge i naravno dobio pogrešnu figuru. Kada se pogledaju grafici funkcija [inlmath]2x-x^2[/inlmath] i [inlmath]-x[/inlmath], vidi se da je prva stalno veća ili jednaka od druge (za [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]), mada nisu stalno nenegativne, što se izbegava translacijom. Nadam se da sam dao dobro objašnjenje.

Pa, da. Nije od značaja jesu li funkcije svaka za sebe nenegativne ili ne, već je od značaja kakvog je znaka njihova razlika.
Zapravo, formula koja si naveo, u svom univerzalnijem obliku glasi [inlmath]\int\limits_a^b\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,\mathrm dx[/inlmath].
Pošto su funkcije [inlmath]f_1(x)=2\cdot x-x^2[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)=-x[/inlmath] neprekidne i nemaju presečnih tačaka između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], to zaključujemo da na segmentu [inlmath](0,3)[/inlmath] njihova razlika uvek mora biti istog predznaka.
A pošto na celom tom intervalu prva funkcija [inlmath]f_1(x)[/inlmath] ima veću vrednost od [inlmath]f_2(x)[/inlmath], to će razlika [inlmath]f_1(x)-f_2(x)[/inlmath] uvek biti pozitivna, pa se možemo osloboditi apsolutne vrednosti.
Međutim, da je trebalo npr. naći površinu koju zaklapaju [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath]-osa na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath], tada bi se integral morao razložiti na dva integrala, jedan od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath] i drugi od [inlmath]\pi[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath]. U prvom integralu bi izraz unutar apsolutnih zagrada bio pozitivan pa bismo se apsolutnih zagrada mogli osloboditi, dok bi u drugom integralu izraz unutar apsolutnih zagrada bio negativan, tako da apsolutne zagrade uklanjamo i dodajemo minus ispred integrala.
Ako ne bismo tako radili, tj. ako ne bismo koristili apsolutnu vrednost, dobili bismo pogrešan rezultat da je površina između sinusne funkcija i [inlmath]x[/inlmath]-ose na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath] jednaka nuli, jer bi se poništile prva i druga površina.