MATEMANIJA

Zanima me da li sam dobro uradio sledeći zadatak:

Treba naći zapreminu tela dobijenog rotiranjem oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, slike ograničene linijama [inlmath]y=\cos x+\cos2x[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]-osom.

Dobio sam da je:
[dispmath]y=2\cos\frac{x + 2x}{2}\cos\frac{x - 2x}{2}=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}[/dispmath] Ako je [inlmath]y_1=\frac{3x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_1\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_1\ge0[/inlmath].
Ako je [inlmath]y_2=\frac{x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_2\in\Bigl[0,\frac{\pi}{6}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_2\ge0[/inlmath].
Odavde sledi da je [inlmath]y\ge0[/inlmath], za svako [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath].

Izračunavanje zapremine:
[dispmath]V=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}y^2\,\mathrm dx=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\left(\cos^2x+2\cos x\cos2x+\cos^22x\right)\mathrm dx=\\
=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos2x}{2}\,\mathrm dx+\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}(\cos3x+\cos x)\,\mathrm dx+\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos4x}{2}\,\mathrm dx[/dispmath] Koristio sam jednačine za [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i jednačine za zbir i proizvod kosinusa dva ugla. Koristio sam i smene u integraciji, [inlmath]t=2x,\;s=4x,\;r=6x[/inlmath].

Na kraju sam dobio da je zapremina jednaka [inlmath]\frac{\pi^2}{2}+\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath], dok u rešenju za zadatak stoji da je [inlmath]\frac{\pi^2}{3}-\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath]. Računao sam približno, koliko iznosi dato rešenje, jer mi se čini da je blizu nule, i dobio sam da je oko [inlmath]0,26[/inlmath], što mi se čini malo s obzirom na grafik funkcije.

Gogele je napisao:slike ograničene linijama [inlmath]y=\cos x+\cos2x[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\color{red}y[/inlmath]-osom.

Valjda, [inlmath]x[/inlmath]-osom? [inlmath]y[/inlmath]-osa bi bila isto što i [inlmath]x=0[/inlmath], a to je već zadato.

Ceo postupak je u redu (izuzev krajnjeg rezultata), s tim što ne vidim potrebu za ovim delom:

Gogele je napisao:Dobio sam da je:
[dispmath]y=2\cos\frac{x + 2x}{2}\cos\frac{x - 2x}{2}=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}[/dispmath] Ako je [inlmath]y_1=\frac{3x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_1\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_1\ge0[/inlmath].
Ako je [inlmath]y_2=\frac{x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_2\in\Bigl[0,\frac{\pi}{6}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_2\ge0[/inlmath].
Odavde sledi da je [inlmath]y\ge0[/inlmath], za svako [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath].

I delovi u kojima je funkcija pozitivna i delovi u kojima je funkcija negativna potpuno isto učestvuju u računanju zapremine tela dobijenog rotacijom. Zato ih nije potrebno razdvajati.

Što se tiče rezultata, nije tačan ni tvoj ni njihov rezultat. Kad se izračuna zbir poslednja tri integrala, treba da se dobije [inlmath]\frac{\pi^2}{3}+\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath].