MATEMANIJA

Zanima me da li sam tačno našao koliko je [inlmath]\displaystyle\int\limits_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+1\right)}[/inlmath]? Moje rešenje je sledeće:
[dispmath]\int\limits_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+1\right)}=\left|u=\frac{1}{x^2+1},\;\mathrm du=\frac{-2x\,\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^2},\;\mathrm dv=\frac{\mathrm dx}{e^x+1},\;v=x-\ln\left(e^x+1\right)\right|=(*)\\
v=\int\frac{\mathrm dx}{e^x+1}=\left|t=e^x+1,\;\mathrm dt=e^x\,\mathrm dx\right|=\int\frac{\mathrm dt}{(t-1)t}=\int\left(\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t}\right)\mathrm dt=(**)[/dispmath] Nakon sređivanja zadnjeg izraza u [inlmath](**)[/inlmath], dobio sam da je [inlmath]A=1[/inlmath], [inlmath]B=-1[/inlmath], pa kada sam to uvrstio u [inlmath](**)[/inlmath] dobio sam da je [inlmath]v=x-\ln\left(e^x+1\right)[/inlmath]. Sada za [inlmath](*)[/inlmath] važi:
[dispmath]\left.\frac{x-\ln\left(e^x+1\right)}{1+x^2}\right|_{-1}^1-\int\limits_{-1}^1\frac{\bigl(x-\ln\left(e^x+1\right)\bigr)(-2x)\,\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{1}{2}+\int\limits_{-1}^1\frac{2x^2-2x\ln\left(e^x+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\,\mathrm dx=\\
=\frac{1}{2}+\int\limits_{-1}^1\frac{x2x\,\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)^2}-\int\limits_{-1}^1\frac{2x\ln\left(e^x+1\right)\,\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)^2}=\left|t=x^2+1,\;\mathrm dt=2x\,\mathrm dx,\;t(-1)=2,\;t(1)=2\right|=\\
=\frac{1}{2}+\int\limits_2^2\frac{\sqrt{t-1}\,\mathrm dt}{t}-\int\limits_2^2\frac{\ln\left(e^{\sqrt{t-1}}+1\right)\mathrm dt}{t^2}=\frac{1}{2}+0-0=\frac{1}{2}.[/dispmath]
Mislim da sam tačno uradio, ali, nažalost, nisam siguran.

Nisam gledao do kraja tvoj racun, no on svakako nije dobar. Ne vazi, na primer, da je [inlmath]\displaystyle\int_{-1}^1\frac{2x^2}{(x^2+1)^2}dx=0[/inlmath] (moze se proveriti da je ovaj integral jednak [inlmath]\frac{\pi-2}{2}[/inlmath], a i strogo pozitivna funkcija (osim u jednoj tacki) ne moze svakako imati povrsinu nula). Naime, problem (ako pretpostavimo da je pre toga sve bilo korektno, nisam gledao) je u delu kada koristis smenu [inlmath]t=x^2+1[/inlmath], jer funkcija [inlmath]x^2+1[/inlmath] nije monotona na [inlmath][-1,1][/inlmath]. Ovde bi prvo morao da razdvojis integral, tj. segment [inlmath][-1,1][/inlmath], na delove na kojima imamo trazenu monotonost (no cini mi se da kako god okrenemo da necemo na ovaj tvoj nacin lako doci do samog resenja). Napomenuo bih samo da monotonost funkcije nije neophodna da bismo vrsili smenu promenljive kod odredjenog integrala, no jeste dovoljan uslov sa kojim najcesce i radimo (o svemu tome bilo je i price u ovoj temi).

Umesto toga, zadatku se moze drugacije pristupiti. Naime, ako bismo prvo uveli smenu [inlmath]x=-t[/inlmath], a potom ponovo sabrali sa pocetnim integralom, primetili bismo da se desilo nesto magicno. Odatle je posle lako.

Ovaj integral definitivno nije elementarna funkcija. Ideja je
primenimo parcijalnu [inlmath]u=\frac{1}{e^x+1}\enspace\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}[/inlmath] pa dobijemo
[dispmath]\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+1\right)}=\frac{\text{arctg }x}{e^x+1}\Bigg|_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{e^x\text{arctg }x}{\left(e^x+1\right)^2}\,\mathrm{d}x[/dispmath] I sada je ovaj prvi deo jednak [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] a ovaj drugi deo je neparna funkcija pa je jednak [inlmath]0[/inlmath].

Onomatopeja je napisao:Naime, ako bismo prvo uveli smenu [inlmath]x=-t[/inlmath], a potom ponovo sabrali sa pocetnim integralom, primetili bismo da se desilo nesto magicno. Odatle je posle lako.

Svaka čast, kako li se samo seti ovoga?

@Gogele, iako se na kraju ispostavilo da ti integral [inlmath]\displaystyle v=\int\frac{\mathrm dx}{e^x+1}[/inlmath] nije ni potreban u ovom zadatku, čisto da napomenem da se on može i lakše izračunati. Umesto smene [inlmath]t=e^x+1[/inlmath], bolje je brojilac napisati kao [inlmath]e^x+1-e^x[/inlmath], tj. [inlmath]\displaystyle\int\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}\,\mathrm dx[/inlmath] i onda to razdvojiš na razliku dva integrala...

@Daniel: Ta smena je potekla iz smene za opstu situaciju [inlmath]\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(a+b-x)\,dx[/inlmath], sto se ovde pokazalo kao korisna stvar. Nisam znao unapred, samo sam probao i desila se magija.

Hvala!