Površina figure. Provera rešenja
Poslato: Ponedeljak, 17. April 2017, 16:41Da li sam dobio tačno rešenje sledećeg zadatka:
Odrediti površinu ograničenu sa [inlmath]y=\sin x[/inlmath], [inlmath]y=\cos\frac{x}{2}[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\pi[/inlmath].
Moje rešenje:
Pošto [inlmath]x\in[0,\pi][/inlmath], sledi da je [inlmath]\sin x\ge0[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{x}{2}\ge0[/inlmath] (jer [inlmath]\frac{x}{2}\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath]). Treba odrediti zajedničke tačke ovih funkcija. Imamo da je:
[dispmath]\sin x=\cos\frac{x}{2}\iff\sin x-\cos\frac{x}{2}=0\iff2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0\iff\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)=0.[/dispmath] Sada iz [inlmath]\cos\frac{x}{2}=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]x=\pi[/inlmath], a iz [inlmath]2\sin\frac{x}{2}-1=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath], dobijamo da je izraz [inlmath]\sin x-\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)\le0[/inlmath], pa je u ovom slučaju [inlmath]\cos\frac{x}{2}\ge\sin x[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\Bigl[\frac{\pi}{3},\pi\Bigr][/inlmath], dobijamo da je izraz [inlmath]\sin x-\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)\ge0[/inlmath], pa je u ovom slučaju [inlmath]\sin x\ge\cos\frac{x}{2}[/inlmath].
Odavde dobijamo da je površina tražene figure jednaka:
[dispmath]P=\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin x\right)\mathrm dx+\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\left(\sin x-\cos\frac{x}{2}\right)\mathrm dx=\\
=\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\cos\frac{x}{2}\,\mathrm dx-\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\,\mathrm dx+\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\sin x\,\mathrm dx-\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\cos\frac{x}{2}\,\mathrm dx=\cdots=2\sqrt3+1.[/dispmath] Integrale sa kosinusom rešavamo pomoću smene [inlmath]t=\frac{x}{2},\;\mathrm dt=\frac{\mathrm dx}{2}[/inlmath], da ne bude zabune.
Odrediti površinu ograničenu sa [inlmath]y=\sin x[/inlmath], [inlmath]y=\cos\frac{x}{2}[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\pi[/inlmath].
Moje rešenje:
Pošto [inlmath]x\in[0,\pi][/inlmath], sledi da je [inlmath]\sin x\ge0[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{x}{2}\ge0[/inlmath] (jer [inlmath]\frac{x}{2}\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath]). Treba odrediti zajedničke tačke ovih funkcija. Imamo da je:
[dispmath]\sin x=\cos\frac{x}{2}\iff\sin x-\cos\frac{x}{2}=0\iff2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0\iff\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)=0.[/dispmath] Sada iz [inlmath]\cos\frac{x}{2}=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]x=\pi[/inlmath], a iz [inlmath]2\sin\frac{x}{2}-1=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath], dobijamo da je izraz [inlmath]\sin x-\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)\le0[/inlmath], pa je u ovom slučaju [inlmath]\cos\frac{x}{2}\ge\sin x[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\Bigl[\frac{\pi}{3},\pi\Bigr][/inlmath], dobijamo da je izraz [inlmath]\sin x-\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)\ge0[/inlmath], pa je u ovom slučaju [inlmath]\sin x\ge\cos\frac{x}{2}[/inlmath].
Odavde dobijamo da je površina tražene figure jednaka:
[dispmath]P=\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin x\right)\mathrm dx+\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\left(\sin x-\cos\frac{x}{2}\right)\mathrm dx=\\
=\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\cos\frac{x}{2}\,\mathrm dx-\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\,\mathrm dx+\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\sin x\,\mathrm dx-\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\cos\frac{x}{2}\,\mathrm dx=\cdots=2\sqrt3+1.[/dispmath] Integrale sa kosinusom rešavamo pomoću smene [inlmath]t=\frac{x}{2},\;\mathrm dt=\frac{\mathrm dx}{2}[/inlmath], da ne bude zabune.
