MATEMANIJA

Neka je [inlmath]0<\xi<1[/inlmath] i neka funkcija [inlmath]f[/inlmath] na segmentu [inlmath][0,\xi][/inlmath] raste, a na [inlmath][\xi,1][/inlmath] opada. Neka je [inlmath]M=f(\xi)[/inlmath] apsolutni maksimum funkcije [inlmath]f[/inlmath] na [inlmath][0,1][/inlmath]. Dokazati da je
[dispmath]\frac{-M-f(0)}{n}\leq\Delta_n\leq\frac{M-f(1)}{n}[/dispmath] gde je [inlmath]\displaystyle\Delta_n=\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)[/inlmath].

Mene ovde buni da li se podrazumevano dokazuje za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] (ili [inlmath]\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath]). U tom slučaju ([inlmath]n\to\infty[/inlmath])imamo da je [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)[/inlmath] zapravo integralna suma, pa je [inlmath]\Delta_n=0[/inlmath], pa je iz ograničenosti funkcije [inlmath]f[/inlmath] tražena nejednakost direktno ispunjena.
Takođe zanima me da li na neki način utiče slučaj [inlmath]M=+\infty[/inlmath]

Ovako kako je zadato, potrebno je dokazati nejednakost za svako prirodno [inlmath]n[/inlmath], budući da nigde nije napisan limes. [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)[/inlmath] predstavlja Rimanovu sumu koja, kako si i sâm zaključio, teži integralu [inlmath]\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx[/inlmath] onda kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath]. Samim tim, izraz [inlmath]\displaystyle\Delta_n=\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)[/inlmath] predstavljaće neko odstupanje, tj. grešku koju bismo pravili ako bismo integral računali preko Rimanove sume za proizvoljno odabran prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], pri ćemu će to odstupanje biti utoliko manje ukoliko je [inlmath]n[/inlmath] veće (tj. podela sitnija), dok će za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] to odstupanje težiti nuli.

Kako ja tumačim ovaj zadatak, nije moguć slučaj [inlmath]M=+\infty[/inlmath], jer tada funkcija ne bi bila definisana u [inlmath]\xi[/inlmath], pa ne bi imalo smisla govoriti o [inlmath]f(\xi)[/inlmath], jer [inlmath]\xi[/inlmath] ne bi pripadalo domenu te funkcije. A budući da je u zadatku navedeno da je [inlmath]M=f(\xi)[/inlmath], to znači da funkcija u [inlmath]\xi[/inlmath] ipak jeste definisana.

Jedna druga stvar mene ovde buni. Ako bismo uzeli npr. funkciju [inlmath]f(x)=-x^2+x-1[/inlmath], koja ispunjava uslove ovog zadatka – na intervalu [inlmath]\displaystyle\left[0,\frac{1}{2}\right][/inlmath] je rastuća, na intervalu [inlmath]\displaystyle\left[\frac{1}{2},1\right][/inlmath] je opadajuća, [inlmath]\displaystyle\xi=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle M=f(\xi)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}[/inlmath], [inlmath]f(0)=f(1)=-1[/inlmath], uvrštavanjem u nejednakost koju je potrebno dokazati dobili bismo:
[dispmath]\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)-(-1)}{n}\le\Delta_n\le\frac{-\frac{3}{4}-(-1)}{n}\\
\frac{\frac{7}{4}}{n}\le\Delta_n\le\frac{\frac{1}{4}}{n}[/dispmath] tj. dobili bismo da je [inlmath]\displaystyle\frac{7}{4}\le\frac{1}{4}[/inlmath], što je kontradikcija, a to bi značilo da funkcija [inlmath]f(x)=-x^2+x-1[/inlmath] predstavlja kontraprimer, tj. da zadata nejednakost za ovako postavljene uslove ne mora uvek biti tačna.

Samo u tvom kontraprimeru [inlmath]M[/inlmath] nije apsolutni maksimum, mora i to da važi.

Moguće da je nesporazum u terminologiji.
Meni je poznato da apsolutni maksimum znači isto što i globalni maksimum (za razliku od lokalnog maksimuma), tj. da predstavlja najveću vrednost koju funkcija dostiže u celom posmatranom intervalu (u ovom slučaju u intervalu [inlmath][0,1][/inlmath]). Ako se tumači na taj način, [inlmath]M[/inlmath] u mom kontraprimeru jeste apsolutni (globalni) maksimum.
Da li se možda u ovom zadatku taj izraz koristi u nekom drugačijem značenju (npr. kao maksimum apsolutne vrednosti funkcije, ili kao nešto treće)?

Nigde nije naznačeno na koji način se tumači pojam apsolutni maksimum u zadatku. Ukoliko bi se tumačilo kao globalni onda sigurno postoji neka funkcija [inlmath]f[/inlmath] koja na krajevima segmenta kupi neke lude vrednosti dovoljne da nejednakost ne bude ispunjena. To je razlog zašto ja mislim da je reč o maksimumu po modulu.

To sam i ja bio pomislio, al' u tom slučaju u zadatku ne bi pisalo

Herien Wolf je napisao:Neka je [inlmath]M=f(\xi)[/inlmath] apsolutni maksimum funkcije [inlmath]f[/inlmath] na [inlmath][0,1][/inlmath].

već bi pisalo [inlmath]M=|f(\xi)|[/inlmath]. A svakako da ovakva formulacija unosi zabunu, ili bar daje mogućnost za kontraprimere kao što su i tvoj i moj kontraprimer, tako da bi bilo najbolje tražiti od profesora ili asistenta (ko je već zadao ovaj zadatak) dodatno pojašnjenje šta se tačno podrazumeva pod apsolutnim maksimumom.