MATEMANIJA

Neka je:
[dispmath]\int\frac{1}{\cos^5x-\sin^5x}\,\mathrm dx[/dispmath] Sada je:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(\cos^4x+\cos^3x\sin x+\cos^2x\sin^2x+\cos x\sin^3x+\sin^4x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Dalje:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Dalje:
[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\bigl(1+\sin x\cos x(1-\sin x\cos x)\bigr)}\,\mathrm dx[/dispmath] Ne pada mi napamet koju smenu da iskoristim,niti dal moze nesto parcialno da se resi,a smenom
[dispmath]\tan\frac{x}{2}=t[/dispmath] ne verujem da cu nesto lakse da dobijem...Moze pomoc?

Pozdrav

Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]

Mislim da je ovdje greška, trebalo bi biti:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-2\cdot\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx=\\
=\int\frac{1}{(\sin x-\cos x)\left(2\cdot\sin^2x\cos^2x-\cos x\sin x-1\right)}\,\mathrm dx=I[/dispmath] Najprikladnije mi je ovdje uvesti smjenu [inlmath]\tan\frac{x}{2}=t[/inlmath], pa dobijaš
[dispmath]I=-2\int\frac{\left(t^2+1\right)^4}{\left(t^2+2t-1\right)\left(\left(t^2+1\right)^4-2\left(t\left(t^2-1\right)\left(t^2+1\right)^2+4t^2\left(t^2-1\right)^2\right)\right)}\,\mathrm dt=\\
=-2\int\frac{\left(t^2+1\right)^4}{\left(t^2-2t-1\right)^2\left(t^2+2t-1\right)\left(t^4+2t^3+2t^2-2t+1\right)}\,\mathrm dt[/dispmath] Sada ovo riješiš preko parcijalnih razlomaka. Ima dosta posla, ali uspije se riješiti. Ili možeš čak i metodom Ostrogradskog, mada nisam pokušala na taj način.

mala_mu je napisao:

Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]

Mislim da je ovdje greška, trebalo bi biti:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-2\cdot\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx=\cdots[/dispmath]

Ne, dobro je tako kako je Subject napisao, ne treba ta dvojka ispred [inlmath]\sin^2x\cos^2x[/inlmath].

Doduše, Subject, u ovom koraku,

Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\bigl(1+\sin x\cos x(1-\sin x\cos x)\bigr)}\,\mathrm dx[/dispmath]

fali ti minus ispred integrala. Mada ja i ne bih uradio taj korak, ostavio bih to kao [inlmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/inlmath] pa zatim primenio postupak koji je mala_mu predložila, čime bi se dobila solidna kobasica s kojom će biti posla da se oteliš, al' ni ja jednostavniji način ne vidim...

Uredu,mada moj cilj je bio da izbegnem tu "kobasicu",iako nije neki veliki problem da se resi ako dobijem nesto tipa:
[dispmath]\int\frac{At+B}{\left(t^2-2t-1\right)^2}\,\mathrm dx[/dispmath] ili
[dispmath]\int\frac{Ct+D}{t^2+2t-1}\,\mathrm dx[/dispmath] kao sto je mala_mu napisala.

Ali za
[dispmath]\int\frac{Et^3+Ft^2+Gt+H}{t^4+2t^3+2t^2-2t+1}\,\mathrm dx[/dispmath] ne verujem da funkcija u imeniocu ima neke celobrojne nule, pa da bih mogao da razlozim na jos neki "parcialni" integral. Ali dobro,hvala u svakom slucaju.

Jeste, uporno sam zaboravljala dodati sabirak. Izvinjavam se na zabušavanju

Možeš pokušati dodati - oduzeti nešto, pa da dobiješ jednostavniji izraz...

Vracam se na kratko na ovaj integral.

Dakle dosao sam do:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1−\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pomnozicu i podelicu sa: [inlmath](\cos x-\sin x)[/inlmath] pa dobijam:
[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(\cos x-\sin x)^2\left(1−\frac{4}{4}\sin^2x\cos^2x+\frac{2}{2}\sin x\cos x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] i to je sad:
[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(1-\sin2x)\left(1−\frac{\sin^22x}{4}+\frac{\sin2x}{2}\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Izvlacim [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ispred, i iz diferencialne jednacine:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\cos x-\sin x[/dispmath] dobijam da je [inlmath]y=-(\sin x+\cos x)[/inlmath] sto je ustvari moja smena za ovaj integral. Dakle, neka je: [inlmath]-(\sin x+\cos x)=t[/inlmath], dobijam posle da je
[dispmath](\cos x-\sin x)\,\mathrm dx=-\,\mathrm dt[/dispmath] i ako kvadriram izraz [inlmath]-(\sin x+\cos x)=t[/inlmath] bice da je [inlmath]1+\sin2x=t^2[/inlmath], odatle izrazim [inlmath]\sin2x=t^2-1[/inlmath], i imam da je [inlmath]\sin^22x=\left(t^2-1\right)^2[/inlmath], sto je veoma solidno resenje "bez kobasica" .
Integral postaje:
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(t^4-4t^2+1\right)}[/dispmath] sto je ustvari:
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(t^2+\sqrt2t-1\right)\left(t^2-\sqrt2t-1\right)}[/dispmath] jer je [inlmath]t^4-4t^2+1=\left(t^2-1\right)^2-2t^2[/inlmath] i ovde uocavamo razliku kvadrata, koja daje izraz u imeniocu integrala.
Ovo se najzad lako resava preko neodredjenih koeficijenata [inlmath]A,B,C,D,E,F[/inlmath]. Ja smatram da je ovaj postupak resavanja slicnog integrala moguc za bilo koju vrstu podintegralne funkcije sto se tice imenioca. Inace radio sam ga vise puta, ali na kraju je uspelo.

Odlična ideja, uz tri korekcije samog postupka:

Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(1-\sin2x)\left(1−\frac{\sin^22x}{4}+\frac{\sin2x}{2}\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Izvlacim [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ispred,

Izvlači se [inlmath]4[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath].

Subject je napisao:i iz diferencialne jednacine:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\cos x-\sin x[/dispmath] dobijam da je [inlmath]y=-(\sin x+\cos x)[/inlmath]

Treba [inlmath]y=\sin x+\cos x[/inlmath] (dakle, bez minusa).

I, nakon smene ti se potkrala neka greška u sređivanju izraza, tako da umesto crvenog faktora

Subject je napisao:[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right){\color{red}\left(t^4-4t^2+1\right)}}[/dispmath]

treba da se dobije [inlmath]\left(-t^4+4t^2+1\right)[/inlmath].

Uz ove korekcije, dobije se integral koji glasi
[dispmath]4\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(-t^4+4t^2+1\right)}[/dispmath] i onda ovaj faktor [inlmath]4.[/inlmath] stepena može da se razloži kao [inlmath]-\left(t^2-2-\sqrt5\right)\left(t^2-2+\sqrt5\right)[/inlmath]...