MATEMANIJA

Zdravo svima...

Imam zadatak, za koji nisam mogao nigde na netu da nađem kako bi mogao da se uradi.
Svi zadaci oko zapremina obrtnog tela se baziraju oko nekih prava koje seku ose koordinatnog sistema i slično.

Zadatak glasi ovako:
Naći zapreminu tela koje nastaje rotacijom zadate figure oko [inlmath]x[/inlmath]-ose.

Zadata figura ima 4 temena i koordinate temena su sledeće:
[dispmath]A(2,2);\;B(5,3);\;C(2,4);\;D(4,4)[/dispmath] Zamolio bih pomoć oko ovog zadatka u vidu nekog saveta kako da ga rešim.

Hvala unapred.

Dobro, zadate su te četiri tačke. A šta je između? Da li su između prave linije koje spajaju dve susedne tačke? (Pretpostavljam da je to u pitanju, jer su tačke nazvane temenima.)
Ako to jeste slučaj, onda imaš pravougle trapeze, čiji se krak (onaj koji je pod pravim uglom na osnovice) nalazi na [inlmath]x[/inlmath]-osi. Rotacijom svakog od tih trapeza oko [inlmath]x[/inlmath]-ose dobija se po jedna zarubljena kupa.

A ako to nije slučaj, tj. ako sam pogrešno pretpostavio te prave linije između susednih tačaka, onda bih molio za dodatno pojašenjenje zadatka.

Imam sliku ako može da pomogne...

Da, sad je jasnije. Nije ono što sam pretpostavljao. Zapreminu tela koje se dobije rotacijom četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] oko [inlmath]x[/inlmath]-ose možeš izračunati kao razliku zapremina dobijenih rotacijom petougla [inlmath]DCBFE[/inlmath] i rotacijom trapeza [inlmath]ABFE[/inlmath], gde su [inlmath]E[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] tačke na [inlmath]x[/inlmath]-osi s koordinatama [inlmath](2,0)[/inlmath] i [inlmath](5,0)[/inlmath], respektivno.

da, oduzimanje dveju zapremina...logičko razmišljanje...
Sad gledajući sliku, zaključujem da se zapremina može izračunati i bez primena integrala, ali ispoštovaćemo zahtev zadatka.
Hvala za prave smernice...

Naravno, ako te ne mrzi, značilo bi mi samo konačno rešenje, čisto da znam da sam zadatak uradio ispravno.

pozdrav,

Ja potpuno i smetnuo s uma da se radi preko integrala, sve vreme posmatram samo valjkove, zarubljene kupe...
Važi, napisaću rešenje koje budem dobio, al' tamo kasnije, sad upravo izlazim iz kuće...

Dobijem [inlmath]\displaystyle\frac{76}{3}\pi[/inlmath] na oba načina – i preko integrala, i preko zarubljenih kupa.

E super, dobio sam i ja isti rezultat.

Izvini samo još jedno pitanje. Kada se računa zapremina ovog petougla, preko integrala, da li si ovako računao?
[dispmath]V_u=V_1+V_2\\
\int\limits_2^4(4)^2\,\mathrm dx+\int\limits_4^5(8-x)^2\,\mathrm dx[/dispmath]

Petougao nema zapreminu, al' OK, razumeo sam na šta si mislio.
Da, upravo tako sam radio. Samo, nemoj zaboraviti [inlmath]\pi[/inlmath] ispred integrala.