MATEMANIJA

Pozdrav, potrebna mi je pomoć oko ovog zadatka, pa ako je neko imao neki slican problem da mi odgovori pomoglo bi mi.
Zadatak glasi: Koristeći metodu smjene odrediti parametar [inlmath]a[/inlmath] tako da vrijedi.
[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{\sqrt2}{2}\sqrt{2x^2+2x+1}+C[/dispmath]
Izvinjavam se ako sam prekršio pravilnik, novi sam. Unaprijed se zahvaljujem.

Pozdrav, dobro nam došao.

Skrenuo bih ti pažnju da je po tački 6 Pravilnika obavezno ostaviti neki komentar ili pokušaj rešenja.

Pretpostaviću da ti je problem kako da počneš zadatak? Ja bih ovaj zadatak radio "unazad". Šta tražimo kada računamo integral neke funkcije? Tražimo funkciju čiji je izvod jednak podintegralnoj funkciji. Znači, izvod funkcije sa desne strane, pa vidiš za koje ćeš vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] dobiti tačnu jednakost.

Pokušao sam to, nasao sam izvod od izraza sa desne strane, ali opet ne razumijem sta bih dalje trebao uraditi.
[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{2\sqrt2x+\sqrt2}{2\sqrt{2x^2+2x+1}}[/dispmath]
Hvala ti na odgovoru!

Našao sam riješenje, evo pa mozda nekome nekad pomogne
[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt{2x^2+2x+1}+C[/dispmath] E sada, izraz sa desne strane se moze napisati kao:
[dispmath]\frac{\sqrt{2x^2+2x+1}}{\sqrt2}[/dispmath] Onda imamo:
[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{\sqrt{2x^2+2x+1}}{\sqrt2}[/dispmath] Kada nadjemo izvod izraza sa desne strane dobijemo:
[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{2x+1}{\sqrt{4x^2+4x+2}}[/dispmath] I iz toga zakljucimo da je:
[dispmath]2x+a-3=2x+1[/dispmath][dispmath]a-3=1[/dispmath][dispmath]a=4[/dispmath] Mozda nisam najstrucnije i najdetaljnije objasnio, ali sustina je tu! Pa eto ako nekome nekada bude trebalo, slobodno neka me dopuni neko ko misli da jos nesto treba dodati u vezi ovoga zadatka!

Hvala za postupak. Moram samo dve stvari da napomenem:

Srdjan01 je napisao:[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{\sqrt{2x^2+2x+1}}{\sqrt2}[/dispmath] Kada nadjemo izvod izraza sa desne strane dobijemo:
[dispmath]\int\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}\,\mathrm dx=\frac{2x+1}{\sqrt{4x^2+4x+2}}[/dispmath]

Zapravo, nađemo izvod i leve i desne strane – tj. izjednačimo izvode obeju strana. To znači, na levoj strani više ne pišemo integral, već samo ono što je bilo unutar integrala:
[dispmath]\frac{2x+a-3}{\sqrt{ax^2+4x+2}}=\frac{2x+1}{\sqrt{4x^2+4x+2}}[/dispmath]

Srdjan01 je napisao:I iz toga zakljucimo da je:
[dispmath]2x+a-3=2x+1[/dispmath]

Da, to zaključujemo ako izjednačimo brojioce. Ali, nakon toga treba proveriti i jesu li imenioci leve i desne strane, za tako izračunato [inlmath]a[/inlmath], jednaki (pokazaće se da jesu, čime je potvrđeno da [inlmath]a=4[/inlmath] jeste tačno rešenje).
Analogno, [inlmath]a[/inlmath] se moglo izračunati i izjednačavanjem imenilaca, nakon čega bi isto tako trebalo proveriti i jesu li brojioci za tako izračunato [inlmath]a[/inlmath] jednaki.