MATEMANIJA

Pozdrav. Zanima me da li postoji formula kojom je moguce izracunati obim figure koja je ogranicena krivama, koristeci integrale? Trazila sam po internetu, ali nista korisno. Nadam se da ce neko, ukoliko zna pomoci.

Ono što tebi treba to je formula za izračunavanje dužine luka. Naravno da takva formula postoji. Ako imamo npr. sledeći grafik:


dužinu njegovog luka možemo u prvoj aproksimaciji predstaviti kao sumu dužina duži čiji se krajevi nalaze na tom luku.
Dužina duži [inlmath]s_k[/inlmath] čije su [inlmath]x[/inlmath]-koordinate krajeva [inlmath]x_k[/inlmath] i [inlmath]x_{k+1}[/inlmath] može se odrediti preko Pitagorine teoreme,
[dispmath]s_k=\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}[/dispmath] gde je [inlmath]\Delta x_k=x_{k+1}-x_k[/inlmath] i [inlmath]\Delta y_k=y_{k+1}-y_k[/inlmath].

Dužina luka u toj aproksimaciji biće jednaka
[dispmath]S_n=\sum_{k=1}^n\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k[/dispmath] a kako usitnjavamo tu podelu, tj. kako [inlmath]n\to\infty[/inlmath] i [inlmath]\Delta x_k\to\mathrm dx[/inlmath], suma će preći u integral i dobićemo tačnu dužinu luka:
[dispmath]S=\underset{\Delta x_k\to\,\mathrm dx}{\lim_{n\to\infty}}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{S=\int\limits_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm dx}[/dispmath] gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], naravno, granice intervala na kojem se posmatra dužina luka.

Naravno, pri računanju obima figure oivičene krivama, treba sabrati dužine gornjeg i donjeg luka kojima je ista oivičena.

Aha, jasno. Znaci, na konkretnom primjeru ako imam krive [inlmath]y=\sqrt[3]x[/inlmath] i [inlmath]y=-|x|[/inlmath]. Obim figure koju ogranicavaju ove dvije krive cu dobiti kada saberem ta dva luka?

Upravo tako, pri čemu se za granice integraljenja uzmu [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka ove dve krive (koje je sasvim lako odrediti).

Vezano je za ovaj zadatak, pa da ne otvaram novu temu. Kada racunam duzinu luka prve krive to jest [inlmath]y=\sqrt[3]x[/inlmath] dobijam sledeci integral [inlmath]\displaystyle\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^0\sqrt{9+\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}}\,\mathrm dx[/inlmath]. Probala sam ga resiti kao iracionalnu funkciju, zatim uvodeci smenu potkorenu velicinu, ali se jos vise zakomplikuje.

Jeste, taj integral je nerešiv, tj. ne može se izraziti preko elementarnih funkcija. Smenom [inlmath]x=t^3[/inlmath], a nakon toga smenom [inlmath]t\sqrt3=u[/inlmath], dolazimo do nerešivog integrala [inlmath]\int\sqrt{1+u^4}\,\mathrm dt[/inlmath] (koji se, doduše, može izraziti preko gama funkcije).
Smem li pitati, odakle je ovaj zadatak?
I, ako nije problem, da navedeš tačan tekst zadatka (od reči do reči).
Jer, deluje mi vrlo malo verovatno da su vam baš ovakav zadatak dali na testu/ispitu/domaćem.

Da, i pretpostavila sam da je neresiv. Zadatak jeste sa jednog od rokova i glasi tacno ovako: Figura [inlmath]F[/inlmath] je ogranicena krivama [inlmath]y=\sqrt[3]x[/inlmath] i [inlmath]y=-|x|[/inlmath]. Napisati izraz za obim figure [inlmath]F[/inlmath]. Doduse sad vidim da je navedeno u zagradi da se ne racunaju vrednosti odredjenih integrala, verovatno je upravo to razlog. Opet nelogicno sto je ovaj zadatak bas na roku

Milica8 je napisao:Doduse sad vidim da je navedeno u zagradi da se ne racunaju vrednosti odredjenih integrala,

Eh. Upravo zbog ovakvih situacija i postoji tačka 11. Pravilnika... Al' džaba, ko to još čita...